用微积分基本定理推导球的体积公式

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推导球体积公式

设球半径R，在直角坐标系中画出y2Rxx2图像，图像为半径是R半圆。

将半圆绕x轴旋转一周，得到几何体为半径为R球。其体积应满足定积分V球0ydx0(2Rxx2)dx 这里我们不妨设f(x)2Rxx2

根据微积分基本定理Qaf(x)dxF(b)F(a)，F'(x)f(x) 可知积分区间为[0,2R]。

因为F'(x)f(x)2Rxx，所以F(x)

13

2

2R

2

2R

b

x3

3

Rx2

12

x）2

（根据求导法则，若f'(x)x2，则f(x)x3；同理f'(x)x可得f(x)所以0f(x)dxF(2R)F(0)因此，V球R3

4

3

2R

(2R)3

3

84

R(2R)2R34R3R3

33

本文来源：https://www.wddqw.com/doc/a97ee98bad1ffc4ffe4733687e21af45b207fe76.html

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