加法对乘法的分配律公式 加法和乘法的交换律，结合律，以及分配律可以用下面五个公式表示： 1） a+b = b+a （加法交换律） 2） a*b = b*a （乘法交换律） 3）（a+b)+c = a+(b+c) （加法结合律） 4）（a*b)*c = a*(b*c) （乘法结合律） 5）（a+b)*c = a*c+b*c （加法乘法结合律） 其中a，b，c都是自然数。 关于这几个公式，第一，使用了字母a，b，c来表示自然数。这是更高一层次的抽象，是未来数学发展基石。据说，第一位使用字母表示未知数或已知数的是法国数学家韦达（François Viète,1540~1603），从而带来了“代数理论”研究的重大进步，他也称为“代数之父”。使用字母来代替数字，去除了数字的干扰，更能够说明数学的本质。 第二，这五个公式是后面数系发展的基础，有理数，实数，以及复数的加法和乘法运算，都遵从这五个公式。 这五个定律都可以通过前面讲的“皮亚诺公理”，以及加法和乘法的定义推导出来。 下面来推导一下 加法结合律和交换律 加法是满足以下两种规则的运算： 1、对任意的自然数m，都有0+m=m； 2、对任意自然数m和n，都有n' +m = （n +m）'； 证明：加法结合律（a+b)+c = a+(b+c) 当a = 0时，（a+b)+c = (0+b)+c = b+c = 0+(b+c) = a+(b+c) 假如对于a = n成立，及(n+b)+c = n+(b+c)，那么对于a = n+1 = n'时 (a+b)+c = (n'+b)+c = (n+b)'+c = ((n+b)+c)' = (n+(b+c))' = n'+(b+c) = a+(b+c) 所以加法结合律成立。 证明：加法交换律 a+b = b+a 首先证明0+m = m+0 = m 由加法的运算规则1，有0+m = m 所以0+0 = 0 然后1+0 = 0'+0 = （0+0）' = 0' = 1 所以对m = 0和1，都有m+0 = m 利用数学归纳法，假设m = n时，n+0 = n成立，那么m = n+1时 m+0 = n'+0 = （n+0)' = n' = n+1 = m 于是，0+m = m+0 = m成立 接着，数学归纳法证明m+n = n+m 对于m = 0，0+n = n+0，我们上面已经证明了，这是多米诺骨牌的第一张牌。这一张牌已经倒下了。 对于m = 1，1+n = 0'+n = (0+n)' = n' = n+1，第二张牌也倒下了。 然后我们需要证明如果一张多米诺骨牌倒下了，那么能保证他的下一张也会倒下。 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/65243f49b91aa8114431b90d6c85ec3a86c28b67.html