可测函数有界和有限的关系 设f(x)是可测集E¡n上的可测函数. 12x例 设E(,), f(x)e,x·\, x¤.,1. 称f(x)在E上有界, 如果存在某个M0, 使得 (iii) f(x)在E上(处处)有限, f(x)未必在E上有|f(x)|M, (xE); 界; 例 (有限但无界) 设E(0,1], f(x)2. 称f(x)在E上几乎处处有界, 如果存在某个1. 则xM0, 存在零测集E0E, 使得 f(x)在E上每一点都有限, 但f(x)在E上无界. (iv) f(x)在E上几乎处处有限, f(x)未必在E上几乎处处有界; 命题 设mE并且f(x)在E上几乎处处有限, |f(x)|M, (xE\E0); 3. 称f(x)在E上(处处)有限, 如果 |f(x)|, (xE); 则f(x)在E上几乎有界，即对于任意的0，存4. 称f(x)在E上几乎处处有限, 如果存在零测集在可测集EE，使得mE且f(x)在E\EE0E, 使得 上有界，即存在MM0，使得 |f(x)|, (xE\E0). |f(x)|M， 5. 称f(x)在E上几乎有界, 如果对于任意的(xE\E). 【证】 因为函数f在E上是几乎处处有限的，则0，存在可测集EE，使得mE且f(x)E{x||f(x)|}是零测集，而 在E\E上有界，即存在MM0，使得 |f(x)|M， (xE\E). E{x||f(x)|}IE{x||f(x)|k}. k1 思考题 可不可以定义：“几乎有限”, “几乎处处几乎有界”，“几乎几乎处处有界”，„„？ 有限和有界的关系如下 (i) f(x)在E上有界, 则f(x)在E上一定(处处)有限; 又E是测度有限界集而E{x||f(x)|k}k1是单调减少(渐缩)集列，因此 0mE{x||f(x)|} limmE{x||f(x)|k}. k例 设E(,), f(x)e,x0, x0.0,(ii) f(x)在E上几乎处处有界, 则f(x)在E上一定几乎处处有限; 12x故对于任意正数存在k0，使得 mE{x||f(x)|k0}. 记EE{x|f(x)k0}，则E是可测集，且在 E\EE{x||f(x)|k0}上，f(x)是有界函数： 1 |f(x)|M:k0， xE\E. 例 (有限但未必几乎有界) 设E[1,), f(x)lnx. 则f(x)在E上每一点都有限, 但f(x)在E上无界并且不是几乎有界的. 2 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/600ff6386ddb6f1aff00bed5b9f3f90f76c64d36.html