初一数学竞赛选修课4（2012-10-16） 数的奇偶性 （一） 奇数和偶数的概念 任意整数被2除得的余数只有两个，0和1.因此根据余数的不同，我们将整数分成两类：余数为1的这类整数称为奇数，余数为0的这类整数称为偶数 表示：偶数常表示为2k，奇数常表示为2k-1或2k+1（k为整数）。 （二） 奇数和偶数的一些性质 （1） 奇偶性相同的两个数的和或差为偶数；反之也成立,即：两个整数的和或差为偶数，这两个数奇偶性相同。 （2） 奇偶性不同的两个数的和或差为奇数；反之也成立,即：两个整数的和或差为奇数，这两个数奇偶性不同。 （3） 两个奇数的积为奇数；两个偶数的积为偶数；一个奇数和一个偶数的积为偶数； （4） 奇数个奇数的和或差为奇数；偶数个奇数的和或差为偶数；任意个偶数的和或差为偶数； （5） 任意个奇数的积为奇数；反之也成立，即一些整数的积为奇数，则所有的整数都是奇数； （6） 一些整数中只要有一个是偶数，则积就是偶数；反之也成立，即：如果多个整数的积为偶数，则其中至少有一个为偶数。 （7） n个偶数的积是2n的倍数。 （8） 任意自然数都可以表示为：奇数2k(k0,1,2,)的形式。 （9） 两个整数的和与差的奇偶性相同。 （10）奇数的平方是奇数，并且被8除余1；偶数的平方是偶数，并且一定能被4整除。 （11）若n是非平方的正整数，则n的所有的因数的个数为偶数；若n是平方数，则n的所有的因数的个数为奇数。 （12）在任意三个整数中，一定能够选出两个数，其和与差都是偶数。 （三） 几个例题及练习 例1：证明性质7。 例2：证明性质8。 例3：证明性质10。 例4：证明性质11。 初一数学竞赛选修课4（2012-10-16） 例5：证明性质12。 例6：求适合于x5656356768的整数x。 例7：是否存在这样的自然数m,n，满足关系式(mn)(mn)1983？ 2 例8：把这个数的前面任意添上一个正号或负号，问它们的代数和是奇数还是偶数? 练习1：若p,q为质数，且5p3q91，则p ，q 。 练习2：设a,b是两个相邻的整数，cab，M2a2b2c2，求证M2是奇数。 练习3：若a,b均为正整数，且mab(ab)，则 A.m一定是奇数 B.m一定是偶数 C.只有当a,b均为偶数时，m是偶数 D.只有当a,b中一个为偶数时，另一个为奇数时，m是偶数 练习4：已知a,b,c三个数中有两个奇数，一个偶数，n是整数，如果 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/57c3690b7fd5360cba1adbd8.html