三角形的“四心” 所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、 垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时, 四心重合为一点，统称为三角形的中心。 一、三角形的外心 定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心， 即外接圆圆心。.'ABC的重心一般用字母0表示。 性 质： 1.外心到三顶点等距，即 OA =0B =0C。 2•外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即 0D _ BC,OE _ AC,OF _ AB. 3.向量性质：若点 0为 ABC所在的平面内一点，满足 (OA 0B)BA =(0B 0C)CB =(0C 0A)AC，则点 0 为.ABC 的外心。 二、三角形的内心 定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆 圆心。厶ABC的内心一般用字母I表示，它具有如下性质： 性 质： 1. 内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。 1 2. 三角形的面积= 三角形的周长 内切圆的半径. 2 3.向量性质: 设；.三〔0, ,则向量AP = ■( AB I AB| AC 上J),则动 |AC| 点P的轨迹过.\ABC的内心。1 三、三角形的垂心 定 义：二角形二条咼的交点叫重心。 示。 性 质： 1.顶点与垂心连线必垂直对边, 即 AH _ BC,BH _ AC,CH _ AB。 2.向量性质： 结论1 :若点0为 ABC所在的平面内一点，满足 二ABC的重心一般用字母 H表 OA OB =0B OC =0C 0A，则点 0 为- ABC 的垂心。 2 ----------- 2 -------------2 ----------- 2 ------------- 2 ------------ 2 结论2：若点O ABC所在的平面内一点，满足OA BC OB CA OC AB， 则点O为AABC的垂心。 四、三角形的“重心”： 定 义：三角形三条中线的交点叫重心。 AABC的重心一般用字母 G表示。 性 质: 1. 顶点与重心G的连线必平分对边。 2. 重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的 倍。 即 GA 二 2GD, GB 二 2GE, GC 二 2GF 3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值. 2 yG 4.向量性质: yA yB yc 3 (1) GA GB GC =0; (2) PG (PA PB PC)。 3 1 - 2 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/b46ce5b8302b3169a45177232f60ddccdb38e6f3.html