三角形外心内心重心垂心与向量性质之欧阳物创编

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欧阳物创编 2021.02.07

三角形的“四心”

时间：2021.02.07

命题人：欧阳物

所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。一、三角形的外心

定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。ABC的重心一般用字母O表示。性质：

1.外心到三顶点等距，即OAOBOC。 2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角

形的这一边，即ODBC,OEAC,OFAB. 3.向量性质：若点O为ABC所在的平面内一点，满足

(OAOB)BA(OBOC)CB(OCOA)AC，则点O为ABC的外心。

二、三角形的内心

定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。ABC的内心一般用字母I表示，它具有如下性质：

欧阳物创编

2021.02.07

欧阳物创编 2021.02.07

性质：

1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。 2.三角形的面积＝1三角形的周长内切圆的

2

半径．

3.向量性质：设

AP(

AB|AB||AC|

AC

0,，则向量

)，则动点P的轨迹过ABC的内

心。

三、三角形的垂心

定义：三角形三条高的交点叫重心。ABC的重心一般用字母H表示。性质：

1.顶点与垂心连线必垂直对边，

即AHBC,BHAC,CHAB。 2.向量性质：结论1：若点

O

为

ABC

所在的平面内一点，满足

OAOBOBOCOCOA，则点O为ABC的垂心。

结论2：若点

2

2

2

O

2

为△ABC所在的平面内一点，满足

2

2

OABCOBCAOCAB

，

则点O为ABC的垂心。

欧阳物创编 2021.02.07

欧阳物创编 2021.02.07

四、三角形的“重心”：

定义：三角形三条中线的交点叫重心。ABC的重心一般用字母G表示。性质：

1.顶点与重心G的连线必平分对边。

2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。

即GA2GD,GB2GE,GC2GF

3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．

即xGxAxBxC,yGyAyByC.

3

3

4.向量性质：（1）GAGBGC0；

1

PG(PAPBPC)。（2）

3

时间：2021.02.07

命题人：欧阳物

欧阳物创编 2021.02.07

本文来源：https://www.wddqw.com/doc/4b0da5245af5f61fb7360b4c2e3f5727a4e9249b.html

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