求多边形边数的两种方法 一、算术方法 我们知道：对于边数是n的凸多边形而言，其外角的和是常数即360º，与多边形的边数无关。当已知正多边形的一个外角（或内角）度数大小时，可直接由例1．已知一个正多边形的每个外角都是72º，求多边形的边数。 解：因为外角的和是360º，所以，边数=360求出边数。 3605. 72例2．已知一个正多边形的每个内角都是144º，求多边形的边数。 解：因为正多边形的每个外角都是180º－144º=36º 而外角的和是360º，所以边数=36010. 36评注：这种方法对于求正多边形的边数的问题是十分有效的，避免了代入内角和公式n2180计算时，导致的大量的运算。 二、代数方法 我们知道：对于边数是n的凸多边形，其内角的和是n2180，与多边形的边数有关。利用内角的和公式，列方程（组）求边数。 例3．凸多边形除去一个内角之外，其余内角的和为2570º，求边数和该内角的大小。 解：设该内角的度数为度，边数为n。由内角和公式n2180得： n21802570 n1650180 因为n为正整数，0180 所以：50180130 - 1 - n165018016117 评注：利用隐含条件：“n为正整数，0180”，求出满足二元一次不定方程的正整数解，是解答上述类型的问题的一般方法。 例4、一个凸多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和是2520º，求原多边形的边数。 分析：一个凸多边形截去一个角后，会出现三种情况： （1）边数与原凸多边形的边数一样，如图1； （2）边数比原凸多边形的边数减少1条，如图2； （3）边数比原凸多边形的边数多1条，如图3。 解：（1）边数与原凸多边形的边数一样，设边数为n。 n21802520n16 （2）边数比原凸多边形的边数减少1条，边数为n15； （3）边数比原凸多边形的边数多1条，边数为n17。 评注：考虑问题必须周密，防止出现遗漏。 如图1 如图2 如图3 例4、已知两个凸多边形的内角和是3600º，并且两个凸多边形的边数比是 1：2，求两个多边形的边数。 - 2 - 解：依题意设两个多边形的边数分别是n、2n，则： n21802n21803600n8 2n=16。 两个多边形的边数分别为8和16。 三、同步练习： 1． 个凸多边形的每个内角的度数都是150º，求它的边数。 2． 各个内角都相等的凸多边形中，一个外角等于它相邻内角的个内角的度数和它的边数。 3． 凸n边形的内角和与外角和之比是9∶2，求n的值。 1，求这个多边形的每一2- 3 - 4．两个多边形的边数之比是3：2，内角和之比是7：4，求两个多边形的边数。 同步练习答案： 1. 解法1：因为多边形的每个内角的度数都是150º， 所以，多边形的每个外角的度数都是 180º－150º=30º， 因为凸多边形外角和=360º， 所以边数=360÷30=12。 解法2：n2180=150 n=12 2. 解法1：因为一个外角与它相邻内角的和=180º，设内角为x 度. 所以1xx180x120, 2n2180=120n n=6 3. 解：n21809n11 36024. 解：设两个多边形的边数分别是：3x,2x。 所以3x21802x21807x3。边数分别是9，6。 4- 4 - 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/0482f2fcb24e852458fb770bf78a6529647d3528.html