几种常见的不等式

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不等式公式

1．常用不等式：

（1）a,bRab2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．

2

2

ab

ab

a,bR2（2）(当且仅当a＝b时取“=”号)．

333abc3abc(a0,b0,c0). （3）

（4）柯西不等式

(a2b2)(c2d2)(acbd)2,a,b,c,dR.

（5）

ababab

.

2．极值定理

已知

x,y都是正数，则有

xy是定值p，则当xy时和xy有最小值2p；

（1）若积

12

s

xyxyxy4s（2）若和是定值，则当时积有最大值.

22

x,yR(xy)(xy)2xy 推广已知，则有

（1）若积

xy是定值,则当|xy|最大时,|xy|最大；

当|xy|最小时,|xy|最小.

（2）若和|xy|是定值,则当|xy|最大时, |xy|最小；

当|xy|最小时, |xy|最大.

22

axbxc0(或0)(a0,b4ac0)，如果a与3．一元二次不等式

ax2bxc同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2bxc异号，则其解集在两

根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.

x1xx2(xx1)(xx2)0(x1x2)； xx1,或xx2(xx1)(xx2)0(x1x2).

4．含有绝对值的不等式

当a> 0时，有

xax2aaxa

2

.

xax2a2xa

5．无理不等式

或xa.

（1）

f(x)0

f(x)g(x)g(x)0

f(x)g(x) .

f(x)0

f(x)0

f(x)g(x)g(x)0或

f(x)[g(x)]2g(x)0（2）.

f(x)0

f(x)g(x)g(x)0

f(x)[g(x)]2.

（3）

6．指数不等式与对数不等式 (1)当a1时,

af(x)ag(x)f(x)g(x);

f(x)0

logaf(x)logag(x)g(x)0

f(x)g(x)

(2)当0a1时,

.

af(x)ag(x)f(x)g(x);

f(x)0

logaf(x)logag(x)g(x)0

f(x)g(x)

本文来源：https://www.wddqw.com/doc/ec1818aa82c758f5f61fb7360b4c2e3f5627255c.html

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