人教版高中数学选修2-3 2．3.2 离散型随机变量的方差 一、基础达标 1．下列说法中，正确的是( ) A．离散型随机变量的均值E(X)反映了X取值的概率平均值 B．离散型随机变量的方差D(X)反映了X取值的平均水平 C．离散型随机变量的均值E(X)反映了X取值的平均水平 D．离散型随机变量的方差D(X)反映了X取值的概率平均值 [答案] C 2．设一随机试验的结果只有A和A，且P(A)＝m，令随机变量ξ＝1，A发生，0，A不发生，方差D(ξ)等于( ) A．m B．2m(1－m) C．m(m－1) D．m(1－m) [答案] D [解析] 随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 P 1－m m ∴E(ξ)＝0×(1－m)＋1×m＝m. ∴D(ξ)＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)． 1 则ξ的 人教版高中数学选修2-3 ∴故选D. 13．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2,3，则D(3X＋5)等于( ) 3A．6B．9C．3D．4 [答案] A 111[解析] E(X)＝1×＋2×＋3×＝2， 33312∴D(X)＝×[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]＝， 332∴D(3X＋5)＝9D(X)＝9×＝6. 34．已知X～B(n，p)，E(X)＝8，D(X)＝1.6，则n与p的值分别是( ) A．100和0.08 C．10和0.2 [答案] D [解析] 因随机变量X～B(n，p)， 则E(X)＝np＝8， D(X)＝np·(1－p)＝1.6， 所以n＝10，p＝0.8. 5．若D(ξ)＝1，则D(ξ－D(ξ))＝________. [答案] 1 [解析] D(ξ－D(ξ))＝D(ξ－1)＝D(ξ)＝1. 6．随机变量ξ的分布列如下： ξ P －1 a 0 b 1 c B．20和0.4 D．10和0.8 1其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝，则D(ξ)＝________. 35[答案] 9111[解析] 由题意得2b＝a＋c①，a＋b＋c＝1②，c－a＝③，以上三式联立解得a＝，b＝，36315c＝，故D(ξ)＝. 297．有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下： ξA 110 120 2 125 130 135 人教版高中数学选修2-3 P ξB P 100 0.1 115 0.2 125 0.4 130 0.1 145 0.2 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 其中ξA，ξB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度．(哪一种的稳定性较好) 解 E(ξA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125， E(ξB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125， D(ξA)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50， D(ξB)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165， 由此可见，E(ξA)＝E(ξB)，D(ξA)<D(ξB)，故两种材料的抗拉强度的平均值相等，其稳定程度材料乙明显不如材料甲，故甲的稳定性好． 二、能力提升 8．已知随机变量ξ的分布列如下表，则ξ的标准差为( ) ξ P A.3.56B.3.2C．3.2D.3.56 [答案] D [解析] 依题意：0.4＋0.1＋x＝1， ∴x＝0.5， ∴E(ξ)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2， ∴D(ξ)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56， ∴Dξ＝3.56. 2k1n－k9．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ck，k＝0,1,2，…，n，且E(ξ)＝24，则D(ξ)n()()33的值为( ) 2A．8B．12C.D．16 9[答案] A 3 1 0.4 3 0.1 5 x 人教版高中数学选修2-3 2222[解析] 由题意可知ξ～B(n，)，∴E(ξ)＝n＝24.∴n＝36.∴D(ξ)＝36××(1－)＝8. 3333110．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________. 52[答案] 5[解析] 设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b， 1a＝5，5＋a＋b＝1，则解得1a＋2b＝1，b＝5，1312所以D(ξ)＝＋×0＋×1＝. 555511．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E(ξ)和D(ξ)． 解 这3张卡片上的数字之和为ξ，这一变量的可能取值为6,9,12.ξ＝6表示取出的3张卡片上均标有2， C378则P(ξ＝6)＝3＝. C1015ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5， 1C278C2则P(ξ＝9)＝3＝. C1015 3 ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5， 2C118C2则P(ξ＝12)＝3＝. C1015∴ξ的分布列为 ξ P 771∴E(ξ)＝6×＋9×＋12×＝7.8. 151515771D(ξ)＝(6－7.8)2×＋(9－7.8)2×＋(12－7.8)2×＝3.36. 15151512．为了迎战下届奥运会，对甲、乙两名射手进行一次选拔赛．已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a，0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2. 6 7 159 7 1512 1 15 4 人教版高中数学选修2-3 (1)求ξ，η的分布列；(其中ξ为甲击中的环数，η为乙击中的环数) (2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术． 解 (1)依据题意，知0.5＋3a＋a＋0.1＝1， 解得a＝0.1. ∵乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2， ∴乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2. ∴ξ，η的分布列分别为 ξ P η P (2)结合(1)中ξ，η的分布列可得： E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2， E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7， D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96， D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21. ∵E(ξ)>E(η)，说明甲平均射中的环数比乙高． 又∵D(ξ)<D(η)，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定． ∴甲的射击技术好． 三、探究与创新 13．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示． 10 0.3 9 0.3 8 0.2 7 0.2 10 0.5 9 0.3 8 0.1 7 0.1 5 人教版高中数学选修2-3 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立． (1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率； (2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，均值E(X)及方差D(X)． 解 (1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”．因此 P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P(A2)＝0.003×50＝0.15， P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108. (2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为 3P(X＝0)＝C03(1－0.6)＝0.064， P(X＝1)＝C10.6(1－0.6)2＝0.288， 3·P(X＝2)＝C20.62(1－0.6)＝0.432， 3·P(X＝3)＝C30.63＝0.216， 3·则X的分布列为 X P 0 0.064 1 0.288 2 0.432 3 0.216 6 人教版高中数学选修2-3 因为X～B(3,0.6)，所以均值E(X)＝3×0.6＝1.8， 方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72. 7 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/afc519c01ae8b8f67c1cfad6195f312b3169eb3e.html