几何证明学术探究 二次曲线新定义的提出及证明过程 【定义概述】：在平面上，以自身上一点为轴点的一条旋转直线上的任一动点与平面上任一定点的连线的垂直平分线与该旋转直线的交点的轨迹是抛物线. 证明： 设直线上有两点OA，直线绕点O旋转. 设坐标O(0，0)，则A(acosθ，asinθ). 设定点M(b，0). AM的中垂线与直线 交于点P(ρcosθ，ρsinθ). ∴PA=PM. PA²=(a-c)²，PM²=(ρcosθ-b)²+(ρsinθ)². ∴(a-ρ)²=(ρcosθ-b)²+(ρsinθ)² a²-2aρ=-2bρcosθ+b²① ①是动点P的极坐标轨迹方程 ρ=√(x²+y²)，x=ρcosθ a²-2a√(x²+y²)=-2bx+b²② ②是动点P的直角坐标轨迹方程 2a√(x²+y²)=2bx+a²-b² 4a²(x²+y²)=4b²x²+4b(a²-b²)x+(a²-b²)² (a²-b²)(4x²-4bx+b²)+4a²y=a²(a²-b²) (a²-b²)(2x-b)²+4a²y²=a²(a²-b²)③ ※结论： 1】a²-b²>0时，③是椭圆； 2】a²-b²=0时，③是(退化的)抛物线； 3】a²-b²<0时，③是双曲线. 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/8b7ebb981611cc7931b765ce0508763230127418.html