斜线与平面 三垂线定理 一、知识要点： 1、斜线在平面内的射影 ①点在平面的射影，垂线段： ②平面的斜线，斜足，斜线段的定义 ③斜线在平面内的射影，斜线段在平面的射影。 2、射影定理 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中： ①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长； ②相等的斜线段的射影也相等，较长的斜线段的射影也较长； ③垂线段比任何一条斜线段都短。 3、直线和平面所成的角，范围为0, 2①斜线和平面所成的角：平面的斜线和它在这个平面内的射影所处的锐角。范围为：0, 2②若直线和平面垂直，则线面所成的角为直角。 ③若直线和平面平行或在平面内，则线面所成的角为0的角。 4、①斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内经过斜足的直线所成的一切角中的最小角。 ②斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中的最小角。 5、三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 已知：PO,PA分别是平面的垂线和斜线，OA是PA在平面内的射影，POaa，且aOA 求证：aPA； 说明：定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系。 6、三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线A垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 注意：⑴三垂线指PA，PO，AO都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理 ⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替使用 7、①如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面 内的射影在这个角的平分线上 ②如果经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线的这个角两边夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在直线 二、高考题集 α 1、（2006年全国卷II）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β， A ππAB与两平面α、β所成的角分别为和，过A、B分别作两平 46B′ β 面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB∶A′B′＝ ( ) B A′ （A）2∶1 （B）3∶1 （C）3∶2 （D）4∶3 2、（2006年四川卷）在三棱锥0ABC中，三条棱OA,OB,OC两两互相垂直，且OAOBOC,M是AB边的中点，则OM与平面ABC所成角的大小是_______（用反三角函数表示） 3、（2006年重庆理）对于任意直线l与平面，在平面内必有直线m，使m与l（ ）. （A）平行 （B）相交 （C）垂直 （D）互为异面直线 4、（07湖北•理•4题）平面外有两条直线m和n，如果m和n在平面内的射影分别是m1和n1，给出下列四个命题：①m1⊥n1m⊥n； ②m⊥nm1⊥n1；③m1与n1相交m与n相交或重合； ④m1与n1平行m与n平行或重合；其中不正确的命题个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4 5、（08四川卷９）设直线l平面，过平面外一点A与l,都成30角的直线有且只有：0( ) （Ａ）１条 （Ｂ）２条 （Ｃ）３条 （Ｄ）４条 6、已知异面直线a与b所成的角为500，P为空间一点，则过点P与a、b所成的角都是300的直线有且仅有（ ）(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条 7、如图5，正方体ABCDA1B1C1D1中，点MAB1，NBC1，且AMBN，有以下四个结论： ①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN与面A1B1C1D1成0角；④MN与A1C1是异面直线． 其中正确结论的序号是 。 三、例题讲解： 1、如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面 内的射影在这个角的平分线上 已知：∠BAC在α内，P，PEAB于E，PFAC于F且PE=PF，PO 求证：O在∠BAC的平分线上（即∠BAO=∠CAO） 变式： 已知：BAC在平面内，点P,PEAB,PFAC,PO，垂足分别为E,F,O，且OEOF，求证：BAOCAO． 推广：经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线的这个角两边夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在直线 2、在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，H是△ABC的垂心 求证：⑴PH底面ABC ⑵△ABC是锐角三角形. 3、点A为BCD所在平面外的一点，点O为点A在平面BCD内的射影，若ACBD,ADBC，求证：ABCD． 4、在空间四边形PABC中，PH面ABC与点H， ①若PA，PB，PC两两垂直，求证H为ABC的垂心； ②若PA=PB=PC，求证H为ABC的外心； ③若PA，PB，PC和平面ABC所成的角相等，求证H为ABC的内心； ④若PABC,PCAB,(PBAC)，求证H为ABC的垂心； PPEABFEAPFOCBOCAHBEC⑤若P到和三角形ABC三边的距离相等，求证H为ABC的内心； ⑥若面PAB,面PBC，面PAC和面ABC所成的角相等，求证H为ABC的内心； 四、课后作业 1、“直线l垂直于平面内的无数条直线”是“l⊥”的 （ ） （A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 2、如果一条直线l与平面的一条垂线垂直，那么直线l与平面的位置关系是（ ） （A）l （B）l⊥ （C）l∥ （D）l或l∥ 3、下列命题中正确的是 ( )①两条异面直线在同一平面内的射影必相交．②与一条直线成等角的两条直线必平行．③与一条直线都垂直的两直线必平行．④同时平行于一个平面的两直线必平行． （A）①、②；（B）①、③；（C）②、④；（D）以上都不对． 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/578e48d70142a8956bec0975f46527d3240ca683.html