word 2．6 双曲线及其方程 2.6.1 双曲线的标准方程 必备知识·自主学习 导思 1.双曲线的定义 如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a＜|F1F2|，则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距． (1)如何理解“绝对值”？ 提示：若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支． (2)把“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”或常数为0，结果如何？ 提示：①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在．③若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段F1F2的中垂线． 2．双曲线的标准方程 焦点所在的坐标轴 x轴 x2y2a2 －b2 =1 (a>0,b>0) 21.双曲线的定义是什么？ 2．双曲线的标准方程有哪些？ y轴 yx2 －2 ＝1 ab(a>0,b>0) 2标准方程 图形 - 1 - / 11 word 焦点坐标 a,b,c的关系式 F1(-c,0),F2(c,0) a+b=c 222F1(0,-c),F2(0,c) 如何从双曲线的标准方程判断焦点的位置？ 提示：焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上． 1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”). (1)在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同．( ) (2)点A(1，0)，B(－1，0)，若|AC|－|BC|＝2，则点C的轨迹是双曲线．( ) xy(3)双曲线2 －2 ＝1的焦点在x轴上，且a>b.( ) ab提示：(1)×.双曲线中b2＝c2－a2，椭圆中b2＝a2－c2. (2)×.因为|AB|＝2＝|AC|－|BC|，所以C点的轨迹是两条射线． x2y222(3)×.在双曲线 － ＝1中，焦点在x轴上，且a>0，b>0，但是不一定a>b. a2b22．(教材例题改编)设动点M到点A(0，－5) 的距离与它到点B(0，5) 的距离的差等于6，则M点的轨迹方程是( ) xyyxA． － ＝1 B． － ＝1 916916yxxyC． － ＝1(y>0) D． － ＝1(x>0) 916916【解析】选C.因为||MA|－|MB||＝6<10＝|AB|， 所以M点轨迹是焦点在y轴上的双曲线的上半支， 其中a＝3，c＝5，所以b2＝c2－a2 ＝4， 22222222y2x2所以M点轨迹方程为 － ＝1y>0 . 916()3．已知圆C：x＋y－6x－4y＋8＝0，以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则所得双曲线的标准方程为________. 【解析】令x＝0，得y2－4y＋8＝0，方程无解，即该圆与y轴无交点． 22- 2 - / 11 word 令y＝0，得x2－6x＋8＝0，解得x＝2或x＝4， 则符合条件的双曲线中a＝2，c＝4， 所以b2＝c2－a2＝16－4＝12，且焦点在x轴上， x2y2所以双曲线的方程为 － ＝1. 412x2y2答案： － ＝1 412关键能力·合作学习 类型一 双曲线的定义及其应用(逻辑推理) y1．设F1，F2分别是双曲线x－ ＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，2422则△PF1F2的面积等于( ) A．42 B．83 C．24 D．48 2．已知动圆E与圆A：(x＋4)＋y＝2外切，与圆B：(x－4)＋y＝2内切，则动圆圆心E的轨迹方程为________． 2222|PF1|－|PF2|＝2，【解析】 3|PF1|＝4|PF2|，|PF1|＝8，解得 |PF|＝6.2又由|F1F2|＝10，可得△PF1F2是直角三角形， 1则S△PF1F2＝ ×|PF1|×|PF2|＝24. 22．由圆A：(x＋4)2＋y2＝2，可得圆心A(－4，0)，半径＝由圆B：(x－4)2＋y2＝2可得圆心B(4，0)，半径＝设动圆的半径为R，由题意可得|EA|＝R＋2 . 2 ，所以|EA|－|EB|＝22 ＜2 ； 2 ，|EB|＝R－2×4，由双曲线的定义可得，动圆的圆心E在以点A(－4，0)，B(4，0)为焦点的双曲线的右支上， 因为a＝2 ，c＝4，所以b2＝c2－a2＝14， - 3 - / 11 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/4a643e3ad7bbfd0a79563c1ec5da50e2534dd1cd.html