经济数学基础(第四版)(上册) teaching (8)[7页]

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2.1 导数的概念

2.1.1 变化率问题举例

1.变速直线运动的速度

例1 已知自由落体运动的路程s与所经过的时间t的关系是s

12

gt．求2

t=3s时这一时刻落体的速度．

自由落体的平均速度

vlimt0

s(3t)s(3)

t

11

g(3t)2g32

2lim2 tt0

1

glim(6t)3g． 2t0

一般地，如果物体运动的路程s与时间t的关系是sf(t)，则它从t0到

sf(t0t)f(t0)

，而在t0时刻的瞬时

tt

速度即为平均速度当t0时的极限值：

t0t这一段时间内的平均速度为v

f(tt)f(t)s00． vlimlim

ttt0t0tt0

2.产品总成本的变化率

设某产品的总成本C是产量q的函数，即Cf(q)．当产量由q0变到q0q时，总成本相应的改变量为Cf(q0q)f(q0)，

则产量由q0变到q0q时，总成本的平均变化率为

Cf(q0q)f(q0)

， qq

f(qq)f(q)C00存在，则称lim 当q0时，如果极限lim

qq0qq0

此极限是产量为q0时的总成本的变化率，又称边际成本．

2.1.2 导数的定义

定义2.1 设函数yf(x)在x0点的某个邻域内有定义，当自变量在点x0处取得改变量x(0)时，函数f(x)取得相应的改变量yf(x0x)f(x0)．如

f(xx)f(x)y00存在，lim果当x0时，lim则称此极限值为函

xx0xx0

数yf(x)在点x0的导数，记作f(x0)，或y

xx

0

，或

dydf

，或，

dxxx0dxxx0

y

并称函数f(x)在点x0可导；如果lim不存在，则称函数f(x)在点x0不可

xx0

导．

例2 求函数yx3在x1，x2处的导数．

解当x由1变到1x时，函数相应的改变量

y

y(1x)313312x31(x)2(x)3，33x(x)2，

x

f(1)

y

lim(33x(x)2)3． lim

x0xx0

当x由2变到2x时，函数相应的改变量：

y(2x)323

322x232(x)2(x)3，

y

126x(x)2， x

f(2)

y

lim(126x(x)2)12 lim

x0xx0

定义2.2 若函数yf(x)在区间(a,b)内任意一点处都可导，则称函数

f(x)在区间(a,b)内可导．

若f(x)在区间(a,b)内可导，则对于区间(a,b)内的每一个x值，都有一个导数值f(x)与之对应，所以f(x)也是x的函数，叫做f(x)的导函数，简称导数．记作f(x)，或y，或

dfdy

，或．

dxdx

f(x)的导数f(x)在点xx0处的函数值就是f(x)在点x0处的导数f(x0)．变速直线运动的速度是v(t)s

ds

；而产品总成本的变化率是dt

C(q)

dC． dq

根据导数的定义，求函数f(x)的导数的一般步骤如下： ①写出函数的改变量yf(xx)f(x)； ②计算比值

yf(xx)f(x)

； 

xx

lim

x0

f(xx)f(x)

．

x

③求极限yf(x)

2.1.3 利用定义计算导数

1.常数函数的导数

设yc(c为常数)，ycc0，于是

c

y00，所以xx

y

0．即常数函数的导数为零． lim

x0x

2.幂函数的导数

设yxn(n为正整数)，y(xx)nxn由二项式定理可得

n(n1)n2

x(x)2(x)nxn 2!n(n1)n2

nxn1xx(x)2(x)n，

2!

yn(n1)n2

nxn1xx(x)n1，所以于是x2!yxnnxn1x

本文来源：https://www.wddqw.com/doc/2ac67be3f405cc1755270722192e453610665b62.html

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