2011年全国初中数学竞赛试题 考试时间2011年3月20日9︰30－11︰30满分150 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分。每道小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1、设x532，则代数式x(x1)(x2)(x3)的值为（ C ） A．0 B．1 C．－1 D．2 2、对于任意实数a,b,c,d，定义有序实数对(a,b)与(c,d)之间的运算“△”为：(a,b)(c,d)(acbd,adbc)。如果对于任意实数u,v，都有(u,v)(x,y)(u,v)，那么(x,y)为（ B ）。 A．(0,1) B．(1,0) C．(1,0) D．(0,1) 3、已知A,B是两个锐角，且满足sin2Acos2B值的和为（ C ） A． B． C．1 D．338511354t34，cos2Asin2Bt2，则实数t所有可能 4、如图，点D,E分别在△ABC的边AB，AC上，BE，CD相交于点F，设S四边形EADF＝S1，SBDF＝S2，SBCF＝S3，SCEF＝S4，则S1S3与S2S4的大小关系为（ C ） A．S1S3＜S2S4 B．S1S3＝S2S4 C．S1S3＞S2S4 D．不能确定 5、设S＝11＋312＋313＋＋3120113，则4S的整数部分等于（ A ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6、两条直角边长分别是整数a,b（其中b2011），斜边长是b1的直角三角形的个数为＿＿31＿＿。 7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8。同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为5的概率是＿＿＿＿。 91 8、如图，双曲线y2x(x0)与矩形OABC的边CB，BA分别交于点32E，F且AF＝BF，连接EF，则△OEF的面积为＿＿＿＿＿； 9、⊙O的三个不同的内接正三角形将⊙O分成的区域的个数为＿＿＿＿＿。28 10、设四位数abcd满足a3b3c3d3110cd，则这样的四位数的个数为＿＿＿。5 第 1 页 共 3 页 三、解答题（共4题，每题20分，共80分） 11、已知关于x的一元二次方程x2cxa0的两个整数根恰好比方程x2axb0的两个根都大1，求abc的值。 解：设方程x2axb0的两个根为α、β，其中α、β为整数，且α≤β 则方程x2cxa0的两个整数根为α＋1、β＋1， 由根与系数关系得：α＋β＝－a，(α＋1)(β＋1)＝a 两式相加得：αβ＋2α＋2β＋1＝0即(α＋2)(β＋2)＝3 ∴212323211153或 解得：或 又∵a＝－(α＋β)，b＝αβ，c＝－[(α＋1)＋(β＋1)] ∴a＝0，b＝－1，c＝－2或a＝8，b＝15，c＝6 故abc＝－3或abc＝29 12、如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点D，延长AD交CH于点P，求证：点P为CH的中点。 证明：如图，延长AP交⊙O2于点Q 连结AH，BD，QC，QH ∵AB为直径 ∴∠ADB＝∠BDQ＝900 ∴BQ为⊙O2的直径 于是CQ⊥BC，BH⊥HQ ∵点H为△ABC的垂心 ∴AH⊥BC，BH⊥AC ∴AH∥CQ，AC∥HQ，四边形ACHQ为平行四边形 则点P为CH的中点。 13、若从1，2，3，…，n中任取5个两两互素的不同的整数a1，a2，a3，a4，a5，其中总有一个整数是素数，求n的最大值。 解：若n≥49，取整数1，22，32，52，72，这五个整数是五个两两互素的不同的整数，但没有一个整数是素数，∴n≤48，在1，2，3，┉┉，48中任取5个两两互素的不同的整数a1，a2，a3，a4，a5， O2 A O1 H D P C B Q 若a1，a2，a3，a4，a5都不是素数，则a1，a2，a3，a4，a5中至少有四个数是合数，不妨假设a1，a2，a3，a4为合数， 设a1，a2，a3，a4的最小的素因数分别为p1，p2，p3，p4 由于a1，a2，a3，a4两两互素，∴p1，p2，p3，p4两两不同 设p是p1，p2，p3，p4中的最大数，则p≥7 因为a1，a2，a3，a4为合数，所以a1，a2，a3，a4中一定存在一个 aj≥p2≥72＝49，与n≥49矛盾，于是a1，a2，a3，a4，a5中一定有一个是素数 综上所述，正整数n的最大值为48。 第 2 页 共 3 页 14、如图，△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2AC。点P在△ABC内，且PA＝3，PB＝5，PC＝2，求△ABC的面积。 解：如图，作△ABQ，使得：∠QAB＝∠PAC，∠ABQ＝∠ACP， 则△ABQ∽△ ACP，由于AB＝2AC，∴相似比为2 于是，AQ＝2 AP＝23，BQ＝2CP＝4 Q M A ∠QAP＝∠QAB＋∠BAP＝∠PAC＋∠BAP＝∠BAC＝60° 由AQ：AP＝2：1知，∠APQ＝900 于是，PQ＝3AP＝3 P ∴BP2＝25＝BQ 2＋PQ 2 从而∠BQP＝900 作AM⊥BQ于M，由∠BQA＝1200，知 ∠AQM＝600，QM＝2 2 23，AM＝3，于是， 3∴AB＝BM＋AM ＝(4＋故S△ABC＝AB•ACsin600＝21)＋3＝28＋83 22B 3C 8AB 2＝6732 第 3 页 共 3 页 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/22c0f834b4360b4c2e3f5727a5e9856a56122631.html