7 正切函数 π学习目标 1.理解任意角的正切函数的定义.2.能画出y＝tan x(x∈R，x≠＋kπ，k∈Z)的图2ππ像.3.理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区间(－，)内的单调性.4.正22切函数诱导公式的推导及应用． 知识点一 正切函数的定义 b思考1 设角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，那么何时有意义？ a 思考2 正切函数与正弦、余弦函数有怎样的关系？ 梳理 (1)任意角的正切函数 π如果角α满足：α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，唯一2π确定比值________，我们把它叫作角α的正切函数，记作y＝________，其中α∈R，α≠＋2kπ，k∈Z. (2)正切函数与正弦、余弦函数的关系 π根据定义知tan α＝________(α∈R，α≠＋kπ，k∈Z)． 2(3)正切值在各象限的符号 根据定义知，当角在第____和第____象限时，其正切函数值为正；当角在第____和第____象限时，其值为负． 知识点二 正切线 思考 正切线是过单位圆上哪一点作出的？ 梳理 如图所示，线段____为角α的正切线． 知识点三 正切函数的图像与性质 思考1 正切函数的定义域是什么？ 思考2 能否说正切函数在整个定义域内是增函数？ 梳理 解析式 y＝tan x 图像 定义域 值域 周期 奇偶性 对称中心 单调性 知识点四 正切函数的诱导公式 π{x|x∈R，x≠kπ＋，k∈Z} 2R 最小正周期是π ____函数 ππ－＋kπ，＋kπ(k∈Z)上是增加的 在开区间22π思考 前面我们学习过π±α，－α，±α，2π±α等的正弦、余弦的诱导公式，并总结出“奇变2偶不变，符号看象限”的记忆口诀．对正切函数能适用吗？ 梳理 函数角 kπ＋α 2π＋α －α π－α π＋α π＋α 2π－α 2 y＝tan x tan α tan α －tan α －tan α tan α －cot α 函数名改变，符号看象限 cot α 函数名不变，符号看象限 记忆口诀 类型一 正切函数的概念 43例1 若角θ的终边经过点A(－，m)，且tan θ＝，则m＝________. 54b反思与感悟 (1)解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即tan α＝. a(2)已知角终边上的一点M(a，b)(a≠0)，求该角的正切函数值，或者已知角α的正切值，求角α终边上一点的坐标，都应紧扣正切函数的定义求解，在解题过程中，应注意分子、分母的位置． 跟踪训练1 已知点P(－2a,3a)(a≠0)是角θ终边上的一点，求tan θ的值． 类型二 正切函数的图像及性质 例2 画出函数y＝|tan x|的图像，并根据图像判断其单调区间、奇偶性、周期性． 反思与感悟 (1)作出函数y＝|f(x)|的图像一般利用图像变换方法，具体步骤是： ①保留函数y＝f(x)图像在x轴上方的部分； ②将函数y＝f(x)图像在x轴下方的部分沿x轴向上翻折． (2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图像，再利用周期性，延拓到定义域上即可． 跟踪训练2 将本例中的函数y＝|tan x|改为y＝tan|x|，回答同样的问题，结果怎样？ 类型三 正切函数诱导公式的应用 例3 求下列各式的值． (1)7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°； tan 225°＋tan 750°(2). tan－30°－tan－45° 反思与感悟 (1)熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键． (2)无条件求值，又称给角求值，关键是利用诱导公式将任意的三角函数值转化为锐角的三角函数值． 跟踪训练3 化简： 3π－－αsinπ＋α·cosπ－α·tan2. π3πtan2＋α·cos2＋α π1．函数y＝tan(2x＋)的最小正周期是( ) 6ππA．π B．2π C. D. 26π2．函数f(x)＝tan(x＋)的递增区间为( ) 4ππA．(kπ－，kπ＋)，k∈Z 22B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z 3ππC．(kπ－，kπ＋)，k∈Z 44π3πD．(kπ－，kπ＋)，k∈Z 44π0，上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( ) 3．在下列函数中同时满足：①在2A．y＝tan x xC．y＝tan 23π＋α等于( ) 4．tan2A．－cot α C．tan α 5．比较大小：tan 1________tan 4. 1．正切函数的图像 π正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋，k∈Z，相邻两条渐近线之间都有一支2正切曲线，且是增加的． 2．正切函数的性质 π(1)正切函数y＝tan x的定义域是{x|x≠kπ＋，k∈Z}，值域是R. 2π(2)正切函数y＝tan x的最小正周期是π，函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω≠0)的周期为T＝. |ω|ππ－＋kπ，＋kπ(k∈Z)上是增加的，不能写成闭区间，正切函数无递减区间．(3)正切函数在 22 B．cot α D．－tan α B．y＝cos x D．y＝－tan x 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/213b49cc9889680203d8ce2f0066f5335a81679c.html