[2017年奥数获奖名单]2017初中奥数计数问题之归纳法练习题

对于比较复杂的问题，可以先观察其简单情况，归纳出其中带规律性的东西，然后再来解决较复杂的问题。
习题1：10个三角形最多将平面分成几个部分?
解：设n个三角形最多将平面分成an个部分。
n=1时，a1=2;
n=2时，第二个三角形的每一条边与第一个三角形最多有2个交点，三条边与第一个三角形最多有2×3=6(个)交点。这6个交点将第二个三角形的周边分成了6段，这6段中的每一段都将原来的每一个部分分成2个部分，从而平面也增加了6个部分，即a2=2+2×3。
n=3时，第三个三角形与前面两个三角形最多有4×3=12(个)交点，从而平面也增加了12个部分，即：
a3=2+2×3+4×3。
……
一般地，第n个三角形与前面(n-1)个三角形最多有2(n-1)×3个交点，从而平面也增加2(n-1)×3个部分，故
an=2+2×3+4×3+…+2(n-1)×3
=2+[2+4+…+2(n-1)]×3
=2+3n(n-1)=3n2-3n+2。
特别地，当n=10时，a10=3×102+3×10+2=272，即10个三角形最多把平面分成272个部分。

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