[初三年级奥数题]初三年级奥数几何典型练习题人教版

在三角形ABC中，AB=6,BC=8,角ABC=60度，圆O过A点和三角形ABC的重心G,BG切圆O于点G,CG延长线交圆O于点E,求1.AG的长 2.CG的长 3.GE的长
因为BF=AB/2=3,BC=8,∠ABC=60,所以由余弦定理得：
FC^2=BF^2+BC^2-2BF×BC×cos∠ABC,所以FC=7,又因为G为重心，所以GC=2FG,所以GC=14/3,FG=7/3,延长BG到AC上的N点，设AB交圆于M点，由余弦定理有AC^2=AB^2+BC^2-2AC*BC*cosABC,所以AC=2√13,所以AN=√13,所以角BAC的余弦也可以由余弦定理得：cosBAC=(AB^2+AC^2-BC^2)/2AB*AC=1/√13,所以在三角形ABN中同样由余弦定理有：BN^2=AB^2+AN^2-2AB*AN*cosBAC,所以BN=√37,又因为BG=2BN/3,所以BG=(2√37)/3,因为BG为切线，所以BG^2=BM*BA,设MF=x,则148/9=(3-x)*6,所以MF=7/27,又因为MF*AF=EF*FG,所以EF=2/3,所以EG=EF+FG=3
设△ABC，AB=c,BC=a,AC=b,作AD⊥BC，设BD=x，DC=y，AD=h则a^2+b^2-2abcosC=(x+y)^2+b^2-2(x+y)bcosC,而cosC=y/b，所以a^2+b^2-2abcosC=(x+y)^2+b^2-2(x+y)by/b=(x+y)^2+b^2-2y(x+y)=x^2+y^2+2xy+b^2-2xy-2y^2=x^2-y^2+b^2,而b^2-y^2=h^2,所以a^2+b^2-2abcosC=x^2+h^2=c^2,即a^2+b^2-2abcosC=c^2,得证

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