小学奥数数论|初中奥数数论约数与倍数知识点归纳2017

(1)公约数和公约数
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数;其中的一个，叫做这几个数的公约数。
例如：4是12和16的公约数，可记做：(12　，16)=4
(2)公倍数和最小公倍数
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
例如：36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。
(3)公约数和最小公倍数的关系
如果用a和b表示两个自然数
1、那么这两个自然数的公约数与最小公倍数关系是：
(a，b)×[a，b]=a×b。
(多用于求最小公倍数)
2、(a，b)　≤　a　，b　≤　[a，b]
3、[a，b]是(a，b)的倍数，(a，b)是[a，b]的约数
4、(a，b)是a+b　和a-b　的约数，也是(a，b)+[a，b]和(a，b)-[a，b]的约数
(4)求公约数的方法很多，主要推荐：短除法、分解质因数法、辗转相除法。
例如：1、(短除法)用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数是多少?
解：∵
(30，60，75)=5×3=15
这个数是15。
2、(分解质因数法)求1001和308的公约数是多少?
解：1001=7×11×13(这个质分解常用到)　　，　　308=7×11×4
所以公约数是7×11=77
在这种方法中，先将数进行质分解，而后取它们“所有共有的质因数之积”便是公约数。
3、(辗转相除法)用辗转相除法求4811和1981的公约数。
解：∵4811=2×1981+849，
1981=2×849+283，
849=3×283，
∴(4811，1981)=283。
补充说明：如果要求三个或更多的数的公约数，可以先求其中任意两个数的公约数，再求这个公约数与另外一个数的公约数，这样求下去，直至求得最后结果。
(5)约数个数公式
一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数(即指数)加1的连乘的积。
例如：求240的约数的个数。
解：∵240=24×31×51，
∴240的约数的个数是
(4+1)×(1+1)×(1+1)=20，
∴240有20个约数。

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