[2017年中考数学试卷]2017年中考数学专项练习试题及答案（2）

B级　中等题
13.(2012年黑龙江)在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠PEF=30°，则∠PFE的度数是(　　)
A.15° B.20° C.25° D.30°
14.(2012年黑龙江绥化)直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B，D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE=8，BF=5，则EF的长为________(提示：∠EAD+∠FAB=90°).
参考答案：
13.D　14.13
C级　拔尖题
15.(2013年山东东营) (1)如图4­2­25(1)，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m, CE⊥直线m，垂足分别为点D，E.证明：DE=BD+CE;
(2)如图4­2­25(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，点D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?若成立，请你给出证明;若不成立，请说明理由;
(3) 拓展与应用：如图4­2­25(3)，点D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点(D，A，E三点互不重合)，点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状.
参考答案：
15.证明：(1)∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA=∠CEA=90°.
∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°.
∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD.
又AB=AC，∴△ADB≌△CEA.
∴AE=BD，AD=CE.∴DE=AE+AD=BD+CE.
(2)成立.∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α.
∴∠DBA=∠CAE.
∵∠BDA=∠AEC=α，AB=AC，
∴△ADB≌△CEA.∴AE=BD，AD=CE.
∴DE=AE+AD=BD+CE.
(3)由(2)知，△ADB≌△CEA，
则BD=AE，∠DBA=∠EAC.
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF=∠CAF=60°.
∴∠DBA+∠ABF=∠EAC+∠CAF.
∴∠DBF=∠EAF.
∵BF=AF，BD=AE，∴△DBF≌△EAF.
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE.
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°.
∴△DEF为等边三角形.

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