余弦定理公式推导

时间：2024-02-07 06:28:14 阅读：最新文章文档下载

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余弦定理公式推导

1、平面三角形证法：

在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，作AD⊥BC于D，则AD=c*sinB，DC=a-BD=a-c*cosB

在Rt△ACD中，

b²=AD²+DC²=（c*sinB）²+（a-c*cosB）² =c²sin²B+a²-2ac*cosB+c²cos²B =c²（sin²B+cos²B）+a²-2ac*cosB =c²+a²-2ac*cosB 2、平面向量证法:

有a+b=c（平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）

c·c=（a+b）·（a+b） c²=a·a+2a·b+b·b

c²=a²+b²+2|a||b|cos（π-θ）又cos（π-θ）=-cosθ（诱导公式） c²=a²+b²-2|a||b|cosθ 此即c²=a²+b²-2abcosC 即cosC=（a2+b2-c2）/2*a*b