长沙理工大学大一高数期末考试题(精)

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,.

一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)

1. 设f(x)cosx(xsinx),则在x0处有(

　).

（A）

f(0)2 （B）f(0)1（C）f(0)0 （D）f(x)不可导.

1x

2. 设(x)

1x，(x)333x，则当x1时（　　）.

（A）(x)与(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）(x)与(x)是等价无穷小；

（C）(x)是比(x)高阶的无穷小；（D）(x)是比(x)高阶的无穷小.

x

3.

若

F(x)0

(2tx)f(t)dt

，其中

f(x)在区间上(1,1)二阶可导且f(x)0，则

（）.

（A）函数F(x)必在x

0处取得极大值；

（B）函数F(x)必在x0处取得极小值；

（C）函数F(x)在x0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线yF(x)的拐点；（D）函数F(x)在x0处没有极值，点(0,F(0))也不是曲线yF(x)的拐点。

4.

设f(x)是连续函数，且 f(x)x21

0

f(t)dt , 则f(x)(

x2

x2

（A）2

（B）

22（C）x1 （D）x2.

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

25. lim(13sinx

x0

x)



.

6.

已知

cosxx是f(x)的一个原函数,则f(x)cosx

xdx .

lim2



2

22

7.

nn(cosncosncosn1n)

.

12



x2arcsinx1

8.

－

11x

2

dx

2

.

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）

9. 设函数yy(x)由方程

exy

sin(xy)1确定，求y(x)以及y(0). 1x7

求10. x(1x7

)dx.

设f(x)xex

，　　x0

111. 　求2xx2

，0x13f(x)dx．

1

g(x)12.

设函数f(x)连续，

f(xt)dt

lim

f(x)

xA0

，且x0

，A为常数. 求g(x)

并讨论g

(x)在x0处的连续性.

;..

)

,.

13.

求微分方程xy2yxlnx满足

四、解答题（本大题10分）



y(1)

19的解.

14. 已知上半平面内一曲线yy(x)(x0)，过点(0,1)，且曲线上任一点M(x0,y0)处切线

斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线x线方程.

五、解答题（本大题10分）

x0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲

15. 过坐标原点作曲线ylnx的切线，该切线与曲线ylnx及x 轴围成平面图形D.

(1)

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）

求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.

16. 设

q0

函数

f(x)

在

1

0,1

0

上连续且单调递减，证明对任意的

q[0,1]

，

f(x)dxqf(x)dx

.





17. 设函数f(x)在0,上连续，且0

在

x



f(x)dx0

，0



f(x)cosxdx0

.证明：

0,内至少存在两个不同的点1,2，使f(1)f(2)0.（提示：设

F(x)

f(x)dx

0

）

一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

e5.

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导

6

1cosx2

　()c

x . 6.2.7. 2. 8.



3

.

exy(1y)cos(xy)(xyy)0

exyycos(xy)

y(x)xy

excos(xy)

x0,y0，y(0)1

10. 解：u

x7　　7x6dxdu 1(1u)112

原式du()du

7u(1u)7uu1 1

(ln|u|2ln|u1|)c7 12

ln|x7|ln|1x7|C77

11. 解：



13

f(x)dxxexdx

3

01

0

2xx2dx

;..

,.

xd(ex)

3

0

01

0

1(x1)2dx

02

xx2

xeecosd　(令x1sin)3





4

2e31

12. 解：由

f(0)0，知g(0)0。

x

1

xtu

g(x)f(xt)dt

0

x

f(u)du

0

x

(x0)

g(x)

xf(x)f(u)du

x

x

02

(x0)

g(0)lim0

x0

f(u)du

x2

lim

x0x

f(x)A

 2x2

A

AA



22，g(x)在x0处连续。

limg(x)lim

x0

x0

xf(x)f(u)du

x

02

13.

dy2

ylnxdxx解：

dxdxxxye(elnxdxC)

2

2

11

xlnxxCx239

111

y(1)C,0yxlnxx

39 9 ，



四、解答题（本大题10分） 14. 解：由已知且

y2ydxy

0

x

，

将此方程关于x求导得特征方程：r其通解为

2

y2yy

r20

解出特征根：r1

1,r22.

yC1exC2e2x

代入初始条件

y(0)y(0)1，得

C1

21

,C233

y

故所求曲线方程为：

五、解答题（本大题10分）

2x12xee33

ylnx0

1

(xx0)x0

15. 解：（1）根据题意，先设切点为

(x0,lnx0)，切线方程：

;..

,.

由于切线过原点，解出

1

x0e，从而切线方程为：

y

1xe

则平面图形面积

A(eyey)dy

0

1

e12

（2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则曲线

1

V1

1

e23

ylnx与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2

V2(eey)2dy

0

D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）

q

1

q

VV1V2



6

(5e212e3)

q

1

16. 证明：0

q

f(x)dxqf(x)dxf(x)dxq(f(x)dxf(x)dx)

0

0

0

q

1q

(1q)f(x)dxqf(x)dx

0

f(1)f(2)

1[0,q]2[q,1]



q(1q)f(1)q(1q)f(2)

1



故有：

q

0

f(x)dxqf(x)dx

0

0

证毕。

17.

x

证：构造辅助函数：

F(x)f(t)dt,0x

0

。其满足在[0,]上连续，在(0,)上可导。



F(x)f(x)，且F(0)F()0

由题设，有



0f(x)cosxdxcosxdF(x)F(x)cosx|sinxF(x)dx

0

0

0

0





，

有

F(x)sinxdx0

0

，由积分中值定理，存在(0,)，使F()sin0即F()0

综上可知F(0)在

F()F()0,(0,).在区间[0,],[,]上分别应用罗尔定理，知存

高

1(0,)和2(,)，使F(1)0及F(2)0，即f(1)f(2)0.

等数学I 解答

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）

(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)

x,x1. 当xx0时，都是无穷小，则当xx0时（ D ）不一定是无穷小.

;..

,.

(A)

xx

(B)

2x2x

(C)

ln1(x)(x)

1xa

(D)

2(x)(x)

sinxlimxasina2. 极限

（A） 1

的值是（ C ）.

（B） e （C）

ecota （D） etana

sinxe2ax1

x0

f(x)x

ax0在x0处连续，则a =（ D ）. 3.

（A） 1

（B） 0

（C） e

（D） 1

4. 设f(x)在点xa处可导，那么h0

（A）

lim

3f(a) f(a)

f(ah)f(a2h)



h（ A ）.

（B） 2f(a)

(C)

1

f(a)

（D） 3

1

a.

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

ln(xa)lna

x5. 极限x0

lim

6. 由e

xy

(a0)

的值是

xe

7. 直线l过点M(1,2,3)且与两平面x2yz0,2x3y5z6都平行，则直线l的方程

x1y2z3

111 . 为

2y2xln(4x)8. 求函数的单调递增区间为（－，0）和（1，+ ） .

ylnxcos2x确定函数y(x)，则导函数y

2sin2x

xy

y

yexyxlnx

.

三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）

(1x)e

x9. 计算极限x0.

lim

(1x)eeelimx0x解：x0

lim

1

x

1

ln(1x)1x

1x

1

x

elim

ln(1x)xe



x0x22

10. 已知：|a|3，|b|26，ab30，求|ab|。

解：



ab512

cos,sin1cos2

13ab13

x

，



ab72

11. 设f(x)在[a，b]上连续，且

;..

F(x)(xt)f(t)dt

a

x[a,b]

，试求出F(x)。

,.

xx

解：

F(x)xf(t)dttf(t)dt

a

a

x

x

F(x)f(t)dtxf(x)xf(x)f(t)dt

a

a

四、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）

2

F(x)f(x)

cosxxdx.3sinx12. 求 cosx12xdxxdsinx3sinx2解：

1111

xsin2xsin2xdxxsin2xcotxC

2222



2

dxxx21

.

13. 求

3

令　

1tx

1

232

原式

1t

dt1ty

2

11

(2)dtt1

1t2

arcsint

3

212

1

2

32





6

的极值与拐点.

解：函数的定义域（－，+）

14. 求函数

2x1x2

2(1x)(1x)4x(3x2)yy2223

(1x)(1x)

令y0得 x 1 = 1, x 2 = -1

y(1)0 x = 1是极大值点，y(1)0x = -1是极小值点

1

2

极大值令x

y(1)1，极小值y(1)1

3 = 0, x 4 =

y0得 x

(-,-

3, x 5 = -3

(-

3) 3,0)

+

(0,

3)

(

3,+)

+

y

－－

故拐点（-

3，-

32

），（0，0）（

3，

3

2

）

x3y

415. 求由曲线

;..

与

y3xx2所围成的平面图形的面积.

,.

x3解:3xx2,　x312x4x20,

4

x(x6)(x2)0,　　x16,　x20,　　x32.

2x3x322

S(3xx)dx(3xx)dx

6404 x432x3032x3x42(x)6(x)0

16232316

11

45247

33

2

y4xB(3,5)，16. 设抛物线上有两点A(1,3)，在弧A B上，求一点P(x,y)使ABP

0

的面积最大.

解：

AB连线方程：y2x10　　AB45点P到AB的距离ABP的面积

2xy1

5

x22x3

　(1x3)

5

1x22x3

　　　S(x)452(x22x3)

25

　　　S(x)4x4　当x1　　S(x)0 　　　S(x)40

当x1时S(x)取得极大值也是最大值此时y3　　所求点为(1，3)

另解：由于ABC的底AB一定,故只要高最大而过C点的抛物线

2

的切线与AB平行时,高可达到最大值,问题转为求C(x0，4x0)

,使f(x0)2x053312,　解得x01,所求C点为(1,3)

六、证明题（本大题4分）

17. 设x0，试证e(1x)1x.

证明：设

2x

f(x)e2x(1x)(1x),x0

f(x)e2x(12x)1，f(x)4xe2x，

f(x)0，因此f(x)在（0，+）内递减。

在（0，+）内，f(x)f(0)0,f(x)在（0，+）内递减， x0,

在（0，+）内，亦即当 x>0时，e高等数学I A

2x

f(x)f(0),即e2x(1x)(1x)0

(1x)1x 。

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 18. 函数

;..

,.

ln(x1)

x1,x1

f(x)tanx,0x1

2

xsinx,x0 的全体连续点的集合是（）

(A) (-,+) (B) (-,1) (1,+ )

(C) (-,0)

 (0, +)

(D) (-,0)

 (0,1)  (1,+ )

19.

x21

lim(axb)0xx1设，则常数a,b的值所组成的数组（a,b）为（）

f(x)二阶可导且f(x)0，则（）

3

（A）（1，0）（B）（0，1）（C）（1，1）（D）（1，-1）

20.

设在[0，1]上

（A）(C)

f(0)f(1)f(1)f(0) f(1)f(0)f(1)f(0)



2

f(0)f(1)f(0)f(1) （D）f(1)f(0)f(1)f(0)

(B)



4

2



M

21.





2

sinxcos4x

dx,N

1x2

2



(sin

2

xcosx)dxP



(x

2

2

sin3xcos4x)dx

则（）

（A） M < N < P （B） P < N < M （C） P < M < N （D） N < M < P

二填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 1. 设x

1d(x2arctanx1)（）

(n)

f(x)dxsinxc,f2. 设则

(x)dx

（）

x4yz5

2mn6p，与xoy平面，yoz平面都平行， 3. 直线方程

那么m,n,p的值各为（）

4. （）

三解答题（本大题有3小题，每小题8分，共24分）

ie2x

i1nlim

n

in

2



1. 计算

11

lim22x0sinxx 

12

xcos,x0f(x)x

x0试讨论f(x)的可导性，并在可导处求出f(x) x2. 设

3. 设函数yf(x)在(,)连续，在x0时二阶可导，且其导函数f(x)的图形如图所示，给

出

f(x)的极大值点、极小值点以及曲线yf(x)的拐点。

;..

,.

y

x

a O b c

d

四解答题（本大题有4小题，每小题9分，共36分）

1. 求不定积分

e

(

1e

x22dx

)

x1x

lnxdx

2. 计算定积分

3. 已知直线面方程。

l1:

xyz1123

l2:

x1y2z3

254,

求过直线l1且平行于直线l2的平

4.

81



yax过原点的抛物线及y=0,x=1所围成的平面图形绕x轴一周的体积为5，确定抛物线方程

2

中的a，并求该抛物线绕y轴一周所成的旋转体体积。

五、综合题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）

2

1. 设F(x)(x1)f(x)，其中f(x)在区间[1,2]上二阶可导且有f(2)0，试证明存在（12）使得F()0。

x

2.

f(x)(tt2)sin2ntdt(x0)

0

（1）求

f(x)的最大值点；

f(x)

（2）证明：

1

(2n2)(2n3)

一、单项选择题 B D B C.

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

5. 6. 7. 8.

x1(4arctanx1)dxdy2x1.

nn(n)cos(x)dxsin(x)c

f(x)dx22. m2,p6,n0. 1

(e1)2.

三、解答题（本大题有3小题，每小题8分，共24分）

;..

,.

9. (8分)计算极限

lim(

x0

11

)22

sinxx.

11x2sin2xlim(22)lim22

x0xsinx解：x0sinxx

xsinxxsinxlimx0x3x

1cosx12limx03x23

12

xcos,x0f(x)x

x0，试讨论f(x)的可导性，并在可导处求出f(x). x10. (8分)设

11

x0,f(x)2xcossin

xx；当x0,f(x)1 解：当

1

x2cos0

x0xx0f'(0)lim0f'(0)lim1

x0x0xx

11

x02xcossin

fxxx

x0 1故f (x)在x=0处不可导。

11. (8分)设函数yf(x)在(,)连续，在x0时二阶可导，且其导函数f(x)的图形如图.

给出

f(x)的极大值点、极小值点以及曲线yf(x)的拐点.

y

x

a O

解：极大值点：x

b c d

axd 极小值点：xb

拐点(0,f(0)),(c,f(c))

四解答题（本大题有4小题，每小题9分，共36分）

12. (9分)求不定积分



(x2)2

dx

x(x1)2

.

413()dx2x(x1)x1解：原式=

4lnx

=

1

3lnx1cx1

13. (9分)计算定积分



e

1e

lnxdx

.

;..

,.

解：原式=

1lnxdxlnxdx

e

1

1e

e

xlnxx1xlnxx1

e

1

2

2

e l1:

xyz1x1y2z3l2:123，254,求过直线l1且平行于直线l2的平

14. (9分)已知直线

面方程.

12解：

取直线l1上一点M1(0,0,1) 于是所求平面方程为

nss(1,2,3)(2,5,4)(7,2,1)

15. (9

7x2y(z1)0

2

分)过原点的抛物线yax (a0) 及

y=0, x=1所围成的平面图形绕x轴一周的体积为

81

5. 求a，并求该抛物线绕y轴一周所成的旋转体体积.

5

222xV(ax)dxa

50解：

1

1



0

a2

5

a2

由已知得

5



81

5

2

y9x 故 a = 9 抛物线为：

x492

V2x9xdx18

402 0绕y轴一周所成的旋转体体积：

五综合题（每小题4分，共8分）

2

F(x)(x1)f(x)，16. (4分)设其中f(x)在区间[1,2]上二阶可导且有f(2)0. 证明：存在（12）使得F()0。

1

1

证明：由

f(x)在[1，2]上二阶可导，故F (x)在[1，2]二阶可导，因 f (2)=0,故F (1)=F (2) = 0

在[1，2]上用罗尔定理，至少有一点

x0,(1x02)

使

F(x0)0

F(x)2(x1)f(x)(x1)2f(x)

在[1，x0]上对F(x)用罗尔定理，至少有点17. (4分). 解：（1）x1为

得F(1)0

(1x02)F()0

f(x)的最大值点。

，当

22n

0x1，f(x)(xx)sinx0f(1)为极大值，也为最大值。

f(x)(xx2)sin2nx

x

；当

x1

，

f(x)(xx2)sin2nx0。

（2）

0

f(x)(tt2)sin2ntdtf(1)

1

1

0

0

f(1)(tt2)sin2ntdt(tt2)t2ndt

1

(2n2)(2n3)

高等数学上B（07）解答

一、填空题：（共24分，每小题4分）

;..

,.

dy2

ysin[sin(x)]2xcos[sin(x2)]cosx2。 1．，则dx

a

dx22．已知1x，a=__1______。

3． 4．



lnxdx22e。

yex过原点的切线方程为yex。

1e

e

5．已知6．a

f(x)e

x

，则



f'(lnx)

dxx=xc。





39

2，b2

3

2

时，点(1,3)是曲线yaxbx的拐点。二、计算下列各题：（共36分，每小题6分） 1．求

y(sinx)cosx的导数。

cosxlnsinxcosxlnsinx

y(e)e(sinxlnsinxcotxcosx) 解：

sinlnxdx。

sinlnxdxxsinlnxcoslnxdx解：

xsinlnxxcoslnxsinlnxdx

2．求

1

(xsinlnxxcoslnx)C2 x5x21dx3．求。

解：

x5

1d(x21)5

dxdxdx2222x1x1x1

x0x0

在点x

x215ln|xx21|C

x

e,

f(x)k

x1,

4．设

0处可导，则k为何值？

解：

xk

f(0)limlimxk1

x0xx0

ex1

f(0)lim1

x0x

k1

11

lim(

2222n

n1n25．求极限

解：



1nn

2

2

)

。

;..

,.

lim(

n

1n1

nk1n

22

1

1n2

2

2



1nn

2

2

)

lim

n

lim

n

k1

n2k211k2n12

n

2



1

11x

0

dx

=

ln(x1x2)|10ln(12)

x2yz102xyz0

xyz10(2,2,0)6．求过点且与两直线和xyz0平行的平面方程。

解

：

两

直

线

的

方

向

向

量

分

别

为

s1(1,2,1)(1,1,1)(1,2,3),s2(2,1,1)(1,1,1)(0,1,1)n(1,2,3)(0,1,1)(1, 1。

平面方程为xyz0。

三、解答下列各题：（共28分，每小题7分）

，平面的法向量

xRcostd2y

2

1．设yRsint，求dx。

dy

cottdx解：

d2y11

(cott)t

dx2RsintRsin3t

x

F(x)t(t1)dt[1,2]

02．求在上的最大值和最小值。

解：F(x)x(x1)0,x0,x1

1

F(0)0,F(1)t(t1)dt,

061252

F(1)t(t1)dt,F(2)t(t1)dt

0063

25



最大值为3，最小值为6。

1

3．设

yy(x)由方程x(1y2)ln(x22y)0确定，求y'(0)。

22

x(1y)ln(x2y)0两边同时对x求导解：方程

(1y2)2xyy

2x2y

02

x2y

x0,y

将

1

2代入上式

y'(0)

;..

5

8

,.

4．求由解：

yx2与y2x围成的图形绕y轴旋转所得的旋转体的体积。

10

V(yy4)dy310

四、证明题：(共12分，每小题6分) 1．证明过双曲线xy证明：双曲线xy

1任何一点之切线与OX,OY二个坐标轴所围成的三角形的面积为常数。

1上任何一点(x,y)的切线方程为

Yy

1

(Xx)2x

1

(0,y),(2x,0)

x 切线与x轴、y轴的交点为

1

sx(y)2

x故切线与OX,OY二个坐标轴所围成的三角形的面积为

2．设函数f(x)与g(x)在闭区间[a,b]上连续，证明：至少存在一点使得

b

f()g(x)dxg()f(x)dx



a

b

证明：令

F(x)g(x)dxf(x)dx

x

a

b

x

F(a)F(b)0，由Rolle定理，存在一点[a,b]，使F()0，即

f()g(x)dxg()f(x)dx



a



高等数学上解答（07）

一、单项选择题（每小题4分，共16分）

(x)是 A 。 1．

（A）奇函数；（B）周期函数；（C）有界函数；（D）单调函数

2

f(x)(1cosx)ln(12x)与 B 是同阶无穷小量。 x02．当时，

3452

（A）x；（B）x；（C）x；（D）x

x2yz0

xy2z0与平面xyz1的位置关系是 C 。

3．直线

f(x)xcosxe|sinx|

（A）直线在平面内；（B）平行；（C）垂直；（D）相交但不垂直。 4．设有三非零向量。若，则bc A 。（A）0；（B）-1；（C）1；（D）3 二、填空题（每小题4分，共16分） 1．曲线

a,b,cab0, ac0

ylnx上一点P的切线经过原点(0,0)，点P的坐标为(e,1)。

lim

2．

x0

tanxx1

2x

x(e1)3。

y2e6xyx10确定隐函数yy(x)，则y(0) 0 。

3．方程



2

yx 、x1与x轴所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为5。

4．曲线

三、解下列各题（每小题6分，共30分）

;..

;..

,.

f(x)tlimtsin2xt

1．已知

(t)

，求f(x)。

f(x)lim(tsin2x)t

esin2x

解：

tt

f(x)esin2

xsin2x

2．求不定积分[ln(lnx)1

lnx]dx。

[ln(lnx)1]dxln(lnx1

解: lnx)dxlnxdx

xln(lnx)11

lnxdxlnxdx

xln(lnx)C

1

x2(sinx23．计算定积分11x41x)dx。

1x2(sinx1x2)dx1(x21x2)dx1

2sinx 解：11x411x1x4dx

1

1

(x21x2)dx0

x sint



2220

sintcos2tdt





8

1sinx

dx4．求不定积分1cosx。

解：1sinx1cosxdx11cosxdxsinx

1cosxdx

1 2sec2xdcosx2dx

1cosx tanx

ln|1cosx| 2C

5．已知f(lnx)x，且f(1)e1，求f(x)。

解：令lnxt，f(t)et

f(x)exC

f(1)e1，

f(x)ex

1 四、（8分）设f(x)对任意x有f(x1)2f(x)f(0)

1

，且

2。求f(1)。

解：由

f(x1)2f(x)，f(1)2f(0)

f(1)lim

f(x)f(1)x1x1 xt1limf(t1)f(1) t0t
,.

2f(t)2f(0)

t t0

 2f(0)1

22(x1)lnx(x1)x1五、（8分）证明：当时，。

lim

证明：只需证明(x1)lnx 令

x1。

f(x)(x1)lnxx1

f(x)lnx

六、（8分）

已知

1

0x，f(x)在[1,)单调递增。

f(1)0，当x1时，f(x)0。即(x21)lnx(x1)2。

x

F(x)(x2t2)f(t)dt

0

，

f(x)连续，且当x0时，F(x)与x2

为等价无穷小量。求

f(0)。

lim

解：

x0

F(x)

1x2

x

2

2

2

0

F(x)(xt)f(t)dtx

x0

x



x

0

f(t)dtt2f(t)dt

0

x

F(x)2xf(t)dtx2f(x)x2f(x)2xf(t)dt

0

x

2xf(t)dtF(x)0

lim2lim2f(0)2x0x0xx

1

f(0)

2

七、

（8分）

2y4x (0x1)和直线yc (0c4)。记它们与y轴所围图形的面

设有曲线

积为

A1，它们与直线x1所围图形的面积为A2。问c为何值时，可使AA1A2最小？

并求出

A的最小值。

c0

4yydy(1)dy

c22

解：

AA1A2

A(c)c1 A(c)c10，得c1。

令

A(1)

1

02，c1为最小值点。

4yy

dy(1)dy10212

f(x)在(a,b)内的点x0处取得最大值，且|f(x)|K (axb)。

八、设

minA

1

证明：|证明：

f(a)||f(b)|K(ba)

f(x0)0

在

[a,x0]对f(x)应用拉格朗日定理

f(x0)f(a)f(1)(x0a) (a1x0)

;..

,.

f(a)f(1)(ax0), |f(a)|K(x0a)

在

[x0,b]对f(x)应用拉格朗日定理

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分5小题, 每小题2分, 共10分)

1、

f(b)f(x0)f(2)(bx0) (x02b)

f(b)f(2)(bx0), |f(b)|K(bx0)

ex1

设Ixdx,则I

e1

(A)　ln(ex1)c　　(B)　ln(ex1)c;(C)　2ln(ex1)xc;(D)　x2ln(ex1)c.

2、

1n

2n

n1n

答( )

n

limeeee

(A)1　(B)e　(C)e　(D)e2

3、

　　　　　　　　　　答（　　）

1

的n阶麦克劳林展开式的拉格朗日型余项Rn(x)(　　)(式中01)1x

(1)n1n1

(A)　x　　　(B)　xn1

n1n1

(n1)(1x)(n1)(1x)f(x)

(1)n1n1n1

(C)　x　　　　　(D)　　x

(1x)n2(1x)n2

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答　(　　)

4、

设f(x)在x0的某邻域内连续,且f(0)0,lim

f(x)

2 , 则点x0

x01cosx

(A)　是f(x)的极大值点　　　　　(B)　是f(x)的极小值点(C)　不是f(x)的驻点　　　　　　(D)　是f(x)的驻点但不是极值点　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答　(　　)

5、

曲线yx22x4上点M0(0,4)处的切线M0T与曲线y22(x1)所围成的平面图形的面积A

214913(A)　　　　(B)　　　(C)　　　(D)　

49412

二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分)

答( )

1

设　yln1tan(x)，则y＿＿＿＿

x1、

;..

,.

2

、

用切线法求方程x32x25x10在(1，0)内的近似根时,选x0并相应求得下一个近似值x1  则x0，x1分别为__________________ 

x1y1z1

12与x1y1z相交于一点，则 。 3、设空间两直线

4、

sinxe2ax1

，当x0

f(x) , 在x0处连续，则a___________ .x

a　　　　　，当x0

5、 0

三、解答下列各题 ( 本大题4分 )



b

xdx_________________，其中b是实数．



bij4kc2i6jk与平面a3ij设平面与两个向量和平行，证明：向量

垂直。

四、解答下列各题

( 本大题8分 )

讨论积分

五、解答下列各题 ( 本大题11分 )

1

0

dx

的敛散性．px

dxx

n

导出计算积分In

六、解答下列各题

( 本大题4分 )

x1

2

的递推公式,其中n为自然数。

x2yz50l1:

z100求过P0(4,2,3)与平面:xyz100平行且与直线垂直的直

线方程。

七、解答下列各题 ( 本大题6分 )

计算极限lim

八、解答下列各题 ( 本大题7分 )

e

x0

1xsinxcos2x

xtanx

n

试求In(lnx)dx的递推公式(n为自然数)，并计算积分(lnx)3dx．

1

1

e

九、解答下列各题 ( 本大题8分 ) 十、解答下列各题 ( 本大题5分 )

xx0

设f(x)在(a,b)内可微,但无界，试证明f(x)在(a,b)内无界。

设lim(x)u0，limf(u)f(u0) , 证明：limf(x)f(u0)

uu0

xx0

。

十一、解答下列各题 ( 本大题4分 ) 十二、解答下列各题 ( 本大题5分 )

在半径为R的球内,求体积最大的内接圆柱体的高

124,cos135，求A,B所受

重量为;..

p的重物用绳索挂在A,B两个钉子上，如图。设

cos

,.

的拉力

f1,f2。

A

O

B

p

十三、解答下列各题 ( 本大题6分 )

　　一质点,沿抛物线yx(10x)运动,其横坐标随着时间t的变化规律为xtt(t的单位是秒,x的单位是米),求该质点的纵坐标在点M(8，6)处的变化速率．

十四、解答下列各题 ( 本大题7分 )

、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分5小题, 每小题2分, 共10分)

1、C 2、答：B 3、C 4、（Ｂ） 5、C

二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分)

设曲线xy,x2y2及y0,围成一平面图形.(1)求这个平面图形的面积;(2)求此平面图形绕x轴旋转而成的立体的体积.

10分

(1

1、

112)sec(x)2

xx

1

2(1tan(x))

x 0

10分 5分

2、x0

x1

1

5

10分

53、4

4、-1

b2

2，b0

0　，b0b2

，b05、2

三、解答下列各题

( 本大题4分 )

10分

;..

k

naij

b

31

0{4,12,2}

平面法向量

114

4分 nn2c与c

平行

8分

从而平面与c

垂直。

10分

四、解答下列各题 ( 本大题8分 )

　　当p1时，1dx0xplim1dx0xplim(101p11

xp1)

　　11

lim01p(1p1)

1



1p，p1 ，p1

当p1时，1dx1dx

lim0

lnx10xp0x

1dx

0xp当p1时收敛，当p1时发散.

五、解答下列各题 ( 本大题11分 )

解:法一In

12x

n1

dx1



x21

(n1x21

xn1)xn2dx

2x11x2

xn1(n1)xn2x21

dx

x21xn1

(n1)1xn2x21dx(n1)dxxnx21x21

(n1)I

xn1n2(n1)In

故Ix21n

n2(n1)xn1n1In

;..

,.

5分

7分

10分

3分

7分

,.

1x21

　　　　　　　　　　　　　　　　I1lnc

xxx212n2

InI(n2)　Iln1xxcn20n1

(n1)xn1法二令xtant　　dxsec2tdt

Isec2tdtsect

ntanntsecttanntdt 

dsecttann1tsecttann1t(n1)sec3ttann2

tdtsect(n1)sec3tdt(n1)sectdt tann1ttann2ttannt

　x21

x

n1

(n1)(In2In)In2

nx21n1In

(n1)xn1

Ix212n

nn1

 (n1)xn1In2(n2)

Iln1x2 x1

1xc

I0ln1x2xc.

六、解答下列各题 ( 本大题4分 )

的法向量为n{111

,,} ijk

S1121{2,1,0}

l1的方向向量为

001

所求直线方向向量为

SnS1{12,,3} 从而所求直线方程为

x4y 10分

122z3

3

七、解答下列各题 ( 本大题6分 )

1xsinxcos2原式lim

2xx0xtanx(1xsinxcos2x)

;..

10分

3分

5分

7分

10分

3分

7分

3分

,.

1xsinxsin22xlim()2x0xtanxxtanx 15(14)22

八、解答下列各题

( 本大题7分 )

7分

10分

In(lnx)ndx

1

e

　xlnnx1n(lnx)n1dx

1e

e

4分

e1

enIn1

于是　Inenen(n1)e(1)nn!dx

enen(n1)e(1)n1n(n1)2e(1)nn!(e1)

7分

所以　(lnx)3dxe3e6e6(e1)

1

e

　　　62e

九、解答下列各题 ( 本大题8分 )

10分

证明:反证设f(x)在(a,b)内有界,即M0则x(a,b)有f(x)M

2分

取x0(a,b)则对x(a,b),xx0在以x0与x为端点的区间上f(x)满足拉格朗日中值定理的条件,则至少存在介于x0与x之间,使　　f(x)f(x0)f()(xx0)

即f(x)f(x0)f()(ba)　　　f(x0)M(ba)记为K

十、解答下列各题 ( 本大题5分 )

8分 10分 5分

即f(x)在(a,b)内有界与题意矛盾,故假设不正确,即f(x)在(a,b)内无界.

由limf(u)f(u0)

uu0

任给0，存在0

使当uu0时，恒有f(u)f(u0) 又lim(x)u0，取1，存在0

xx0

4分

使当0xx0时，(x)u0故当0xx0时，就有f(x)f(u0)成立

因此limf(x)f(u0)

xx0

8分

10分

;..

十一、解答下列各题 ( 本大题4分 )

设内接圆柱体的高为h,则圆柱体的底面半径rR2(h2

)2

h(R2

h2其体积为　　　V4

)　　0h2R

　　　V(R23

4h2)

唯一驻点　h23

3R

　　V3

2h0

故h

23

3R时,圆柱体体积最大

十二、解答下列各题

( 本大题5分 )

按点O受力平衡，应有

124(4分)13f15f2p

f1cosf2cospf51sinf2sin0，即

13

f315f20

(8分)

f3925解得

156p,f256p

(10分)

十三、解答下列各题

( 本大题6分 )

当　x8时，t4

1

dx3

t23(米／秒)

dt2t4t4

dy 18(米／秒)

dt(102x)dx

dt

x8 x(t)3

答：质点的纵坐标在M(8，16)处的变化率为18(米／秒)

十四、解答下列各题

( 本大题7分 )

解:(1)　　　x

y　x2y2　交点(11,).

　　　S10

x2dx

221

2xdx

　　　13(x2

22x2arcsinx

2)

1

;..

,.

4分

8分

10分

2分

4分

10分

3分

,.

1132241,46 

1

40

5分

21

(2)　Vxxdx(2x2)dx

8分





5

4222().

315

2(21)



3

(221)

10分

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)

1、

lim(1cosx)2secx(　　)

x

2、

14

　　　　　　　　　　　　　答（　　） A．e2　　B．e2　　C．4　　D．

　　设f(x),g(x)在x0的某去心邻域内可导,g(x)0且limf(x)limg(x)0,

xx0

xx0

则(I)lim

xx0

f(x)f(x)

A与(Ⅱ)limA关系是:

xx0g(x)g(x)

(A)　(Ⅰ)是(Ⅱ)的充分但非必要条件(B)　(Ⅰ)是(Ⅱ)的必要但非充分条件(C)　(Ⅰ)是(Ⅱ)的充要条件

(D)　(Ⅰ)不是(Ⅱ)的充分条件，也不是必要条件

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　）

3、

设f(x)在a，b连续，F(x)f(x)dt　(axb)，则F(x)是f(x)的

a

x

　(A)．原函数一般表示式　　　　　　　　 (B)．一个原函数　(C)．在a，b上的积分与一个常数之差　(D)．在a，b上的定积分

4、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

;..

,.

若已知x0时，F(x)(x2t2)f(t)dt的导数与x2是等价无穷小，则f(0)

x

0

(A)1　　　 (B)　

12(C)　1　 (D)　

1

2

　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

二、填空题（将正确答案填在横线上）

(本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)

1

1、yxex

2

的铅直渐近线是__________

_______ 2、

tan2

xdx

__________.

3

设f(x)为以T为周期的连续周期函数，则f(x)在a，aT(a0)上的定积分与f(x)在0，T上的定积分的大小关系是______________

xy2z74、直线

135与平面3xy9z170的交点为 。三、解答下列各题

(本大题共2小题，总计12分) 1、(本小题6分) 写出f(x)ln(1x)x1带拉格朗日型余项的n阶麦克劳林展开式.2、(本小题6分)

x2y2

z2指出锥面416被平行于zox平面的平面所截得的曲线的名称。

四、解答下列各题

(本大题共5小题，总计24分) 1、(本小题1分)

求　dx.

2、(本小题x2分)

计算40

(xx)dx．

3、(本小题5分)

求

lnx

x1lnxdx.

4、(本小题5分)

求

4

dx

1

x(1x)．5、(本小题11分)

tan

设　y(x)(2x)

2

x，(1

2x1)求dy．

五、解答下列各题

(本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分)

试证：F(t)0

ln(t22tcosx1)dx为偶函数．

2、(本小题7分)

试证：对角线向量是A3,4,1,B2,3,6的平行四边形是菱形，并计算其边长。

;..

、

六、解答下列各题

(本大题共3小题，总计20分) 1、(本小题6分) 在抛物线yx2找出到直线3xk4y2的距离为最短的点2、(本小题6分)

设曲线的方程为yf(x).已知在曲线的任意点(x,y)处满足y6x,且在曲线上的(0,2)点处的曲线的切线的方程为2x3y6,求此曲线的方程.

3、(本小题8分)

经济学上,均衡价格p0定义为供给曲线与需求曲线相交时的价格,消费者剩余定义为需求曲线与直线pp0间的面积(右图区域),生产者剩余定义为供曲线与直线pp0间的面积(右图区域).已知需求曲线方程p(x)10000.4x2,供给曲线方程为p(x)42x.求均衡点及消费者剩余和生产者剩余.

七、解答下列各题

(本大题共2小题，总计6分) 1、(本小题1分)

设f(x)在xx0处连续，g(x)在x0处不连续，

试判定F(x)f(x)g(x)在x0处的连续性．2、(本小题5分)

若xlimxf(x)，limxxg(x)A，试判定limf(x)g(x)是否为无穷大？

0

0

xx0

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)

1、D 2、答　(B) 3、B 4、B

二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)

1、x0

2、tanxxc.

3、=

4、(2,4,3) 三、解答下列各题

(本大题共2小题，总计12分) 1、(本小题6分) ;..

,.

10分 10分 10分 10分

10分

f(x)xx2x3xn

23nRn(x)

R11n1

n(x)n1(1)n1

x,介于0与x之间

2、(本小题6分)

x22

2

y04z用yy0所截得的曲线为yy160

4分

故y00时为一对相交直线

y00时为双曲线 10分

四、解答下列各题

(本大题共5小题，总计24分) 1、(本小题1分)



xdx23x3

2c.

2、(本小题2分)

3

原式(x222

4

23x)

0

40

3 3、(本小题5分)

lnx

x1lnxdx

lnx1lnxd(lnx)

1lnxd(1lnx)

d(1lnx)1lnx

2

3(1lnx)3221lnxc.

4、(本小题5分)

令　xt

原式

2

2t

1

t2(1t)dt

22 1(1t1t1)dt

2lntln(t1)2

1

2ln

4

3

5、(本小题11分)

dyy(x)dx



　(2x)

tan2

x12sec2x2ln(2x)x2xtan2dx

;..

,.

7分

10分

10分

7分

10分

3分

7分 10分

4分

6分 8分

10分 2分

10分

五、解答下列各题

(本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分)

F(t)

ln(t20

2tcosx1)dx

令　xu

F(t)0



ln(t22tcosu1)du



0

ln(t22tcosx1)dx

F(t) 2、(本小题7分)

因为AB32(4)3(1)(6)0，故AB 因此这个平行四边形的对角线是垂直的，于是它是菱形。（6分）

边长=

05

.|A|2

05.|B|2

132(4)2(1)2

1/22

1

2232(6)21/2

22

2



5

23 （10分）六、解答下列各题

(本大题共3小题，总计20分) 1、(本小题6分)

设抛物线上任点(x,x2),到直线的距离为

d

3x4x22

291

16

5(4x3x2)

d1

5(8x3)

唯一驻点　x38

d

850

故当x3

8时,d最小

即点3

8，964到直线3x4y20的距离最短

(注如用切线平行于已知直线解也可以)

2、(本小题6分)

yydx3x2c　　　　　　(1)

又由2x3y6得y2

3

x2y

(0,2)



2

3　　　代入(1)得

;..

,.

2分

6分 8分 10分

4分

8分

10分

3分

y3x2

23

y(3x2

23)dxx32

3xc

再将(0,2)代入得c2,yx32

3x2.

3、(本小题8分)

p10000.4x2



p42x, 解出x20.

均衡点p840.

消费者剩余20

0

(10000.4x2)840

dx

　　　　2133.33

生产者剩余20

084042xdx

8400 七、解答下列各题

(本大题共2小题，总计6分) 1、(本小题1分)

F(x)f(x)g(x)在x0处必不连续

若F(x)在x0处连续，则

g(x)F(x)f(x)在x0处也连续，矛盾！

2、(本小题5分)

答：不一定．

若A0，lim

1xx10

0f(x)g(x)

limxxf(x)g(x)0

但若A0则等式可能不成立

例如lim

1

x1x1，xlimx(x1)20

１

但lim1

x1x1(x1)20

b

极限lim(11、x0x

a)x　　(a0，b0)的值为

b

(A)1．　(B)lnbbe

a　(C)ea．　(D)

a

　　　　　　　　　　　　　　答（　　）2、

;..

,.

5分

10分

3分

6分 10分

4分

10分

4分 6分

10分

,.

3cosx

lim(1cosx)

x0



A．e3　　B．8　　C．1　　D．

　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

3、

　　设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导记(Ⅰ)f(a)f(b)

(Ⅱ)在(a,b)内f(x)0则：(A)(Ⅰ)是(Ⅱ)的充分但非必要条件(B)(Ⅰ)是(Ⅱ)的必要,但非充分条件(C)(Ⅰ)是(Ⅱ)的充要条件

(D)(Ⅰ)与(Ⅱ)既非充分也非必要条件

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答　(　)

4、

若x0，f(x0)为连续曲线,yf(x)上的凹弧与凸弧分界点,则(　　)(A)　(x0，f(x0))必为曲线的拐点(B)　(x0，f(x0))必定为曲线的驻点(C)　x0为f(x)的极值点(D)　x0必定不是f(x)的极值点

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答(　　)

5、

一长为Lcm的杆OA绕O点在水平面上作圆周运动.杆的线密度1

r

,

r为杆上一点到O点的距离,角速度为,则总动能

(A)　1

22L2　　(B)　132L2　　(C)　142L2　　(D)　1

52L2

答( 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分3小题, 每小题3分, 共9分)

21、

(3x)3

dx

_______________.

2、

设f(x)x0

t(t1)dt，则f(x)的单调减少的区间是__________



(nn

1)

3、对于的值，讨论级数n1

（1）当时，级数收敛（2）当时，级数发散三、解答下列各题

(本大题共3小题，总计13分) 1、(本小题4分) 验证f(x)x2在[2,4]上拉格朗日中值定理的正确性2、(本小题4分)

级数



1

nn1

2

n10

n1

10n

;..

)

,.

是否收敛，是否绝对收敛？ 3、(本小题5分)

3x,

22时，fxx。又设Sx是fx的 fx设是以2为周期的函数，当

,内的表达式。 Sx以2为周期的Fourier级数之和函数。试写出在

四、解答下列各题

(本大题共5小题，总计23分) 1、(本小题2分)

2、(本小题2分)

x312x16

求极限　lim3

x22x9x212x4

3、(本小题4分)

求(ex1)3exdx.求

2

1

4、(本小题7分)

x21

dx．x

5、(本小题8分)

求x dx.

y

试将函数

五、解答下列各题 ( 本大题5分 )

1x2

在点

x00处展开成泰勒级数。

如果幂级数n0在x2处条件收敛，那么该级数的收敛半径是多少 试证之. 六、解答下列各题

(本大题共2小题，总计16分) 1、(本小题7分)

a



n

xn

如图要围成三间长都为 y , 宽都为 x 的长方形屋围 , 其墙的总长度为a,问x,y各等于多少时 , 所围成的总面积最大?(墙的厚度不计)

2、(本小题9分) 七、解答下列各题 ( 本大题6分 )

求由曲线ye2x,x轴及该曲线过原点的切线所围成的平面图形的面积.

八、解答下列各题 ( 本大题6分 )

chx，x0，

设　f(x),试讨论f(x)的可导性并在可导处求出f(x)

ln(1x)，x0

;..

,.

x

计算lim

x0



02x0

(atbt)dtln(1t)dt

，(a0，b.0)．

九、解答下列各题

( 本大题12分 )

设函数f(x)在a，b上有连续导数(a0)，又设xrcos，f(x)rsin．试证明：2b

f(x)dx

a



r2()dbf(b)af(a) ,

其中arctan

f(a)

a，arctanf(b)

b

．一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分5小题, 每小题2分, 共10分)

1、答：

C 2、B

3、答　　(B) 4、(A) 5、

C

因dE

1

(dm)v22　　11

dr(r)2

2r　　1

22rdr

　EL1

022rdr

　1

2L2

二、填空题（将正确答案填在横线上）4

(本大题分3小题, 每小题3分, 共9分)

27x9x3

9x5x7

c1、57.

2、

(0，1)　(答0，1

不扣分)

3、

1时收敛

1时发散

三、解答下列各题

(本大题共3小题，总计13分) 1、(本小题4分)

证明 : f(x)x2在[2 , 3]上连续 , 在(2 , 3)可导即f(x)在[2 , 3]上满足拉格朗日中值定理的条件

又f'(x)2x令f'()2

f(4)f(2)

426

;..

10分 10分 10分

10分 10分

4分

得到(2 , 3)内有解3 即存在3 , 使f'()

f(4)f(2)42

这就验证了拉格朗日中值定理对函数f(x)x2在[2 , 3]上的正确性

2、(本小题4分)

u1

nn1n10n10

n2

10n 记

10n

un11

由于 un

n10

……6分故原级数绝对收敛，从而收敛 ……10分 3、(本小题5分)

f3

对xx,



2

x

2作周期为2的延拓，fx在,内的表

达式为



x2,x2,fx

x,x0,



x,02x, (3分)

fx满足Fourier级数收敛的充分条件。 (5分)

故



x2,x



2

,

Sx

,x

x,



2

,

x0,



x,02

x,

(10分)

注：只要写出Sx

的表达式即可得10分。四、解答下列各题

(本大题共5小题，总计23分) 1、(本小题2分)

解:原式lim3x212

x26x2

18x12

　　　lim

6x

x212x18

　　　2

2、(本小题2分)

(ex1)3ex

dx (ex

1)3

d(e

x

1)

;..

,.

8分

10分

5分

8分 10分

5分



14(ex

1)4c.

3、(本小题4分)

令　xsect



原式30

tan2tdt



30

(sec2t1)dt

(tantt)



0

3

3



3

4、(本小题7分)

xdxx2

2

c1　　x0,

2

x2c2　x0.

由原函数的连续性,得

x2x2

xlimo(2c1)xlimo(2

c2)　　c1c2　　令c1c2c

x2

c,xdx2

　x0,xxc.x22c,　x0

2

5、(本小题8分)

因为

1

x21x11xx

10

1

xx0 x0

……3分

1

n

而

x

1xn

1x1,1

n0

……5分

1

n

11xxn

0nx0,2x0

所以

xx0

n0

x0

1

n1



1nxx0

n1

x2n0

xn1x0,2x0

0

……10分五、解答下列各题 ( 本大题5分 )

由题意,知:

;..

,.

10分

4分

6分 8分

10分

5分

10分

当

x2时, 级数绝对收敛； ……4分

当x2

时, 级数不可能收敛. ……8分故收敛半径是2. ……10分六、解答下列各题

(本大题共2小题，总计16分) 1、(本小题7分)

如图　4y6xa　　y

a432x 总面积为A3xy3x(a43

2x)

dAdx3a49x　　当xa12时,dAdx0　　d2Adx290故当xa

12时,A取得唯一极大值也是最大值

此时　　ya43aa

212

8故当xa12，ya

8时,所求总面积最大

2、(本小题9分)

解:y2e2x.　　设切点(t0,e2t0),切线y2e2t0x,

　　2t

ye0,1

y2e2t　　t0

t002 切线y2ex,　　　切点(1

2,e)

1

s2

11e2xdx22e

1e2x1

21e1

244e.

七、解答下列各题

( 本大题6分 )

f(0)1，f(00)xlim00

ln(1x)0

f(00)xlim00

coshx1

f(x)在x0处不连续,故不可导

sinhx，xf(x)

0，1

1x，x0，

八、解答下列各题

( 本大题6分 )

;..

,.

3分

6分

8分

10分

3分

6分

8分

10分

3分 5分

10分

,.

axbx

原式lim

x02ln(12x)

5分

九、解答下列各题 ( 本大题12分 )

axlnabxlnblimx04

12x

1aln4b

f(x)xf(x)f(x)

，ddxxx2f2(x)

10分

因为r2x2f2(x)，arctan



2

b

4分 6分

于是　r()dxf(x)f(x)dx



a

xf(x)dxf(x)dx

a

aba

bb

ba

xf(x)baf(x)dxf(x)dxbf(b)af(a)2f(x)dx

a

b

b

8分

10分

所以　2f(x)dxr2()dbf(b)af(a)

a





一、一、填空

1.

1. 设

x=0是f(x)的连续点。解：

cosx

,x0x2

f(x)(a0)

aax,x0x当a= 时，

cosx1

x0x22lim

aax1



x0x2a

故a1时x0是连续点，a1时x0是间断点。

dy

设方程xyarctany0确定了yy(x),求

dx＝ 2．

f(0)

lim

1

2

。

y

1y02

1y解：

lim

1y2

y

y2

3．＝A，则a= ，b= ， A= 。

解：要使极限存在，分子与分母应是极限过程中的同阶无穷小或高阶无穷小，于是有1＋a+b=0，用一次罗必达法则分子仍为无穷小，有a+4b=0

解出：a=-4/3 b=1/3 代入求得极限A＝8/3

x

yx24．函数的极小值点为

1acos2xbcos4xx0x4

。

解：y小值点。 ;..



21xln2驻点

x

x

1

x2

ln2,y2(2ln2x(ln2))在驻点处

y’’>0,故驻点为极

,.

5．设f (x) = x lnx在x0处可导，且f’(x0)=2,则 f (x0)= 。解：

f(x)lnx1,由f(x0)2知x0e,于是有f(x0)e.

x0

6.设lim

解：

fxf01,

x2则f(x)在x=0取得

（填极大值或极小值）。

lim

二、

fxf0fxf0＝－1,由极限的保号性有0,有fxf00

x0x2x2

即在x0的某邻域内有fxf0,由极值定义知x0是极大值点。　

是否连续？是否可导？并求f(x)的导函数。

解：当x>0及x<0时，，f(x)为初等函数，连续。

1x1

x0

函数f(x)x

0,x0 

x0

x0

x1x1

limf(x)0limf(x)f(0)f(x)在,连续。

x0

x0

x0

limf(x)lim

1x1

lim

x

0

当x0时，f(x)

1x12x

3/2

1xxx

,当x0时，f(x)00

lim

x0

1x1

f(x)f(0)limlimx0x0x

1x(1x1)



1x1

x0,

f(x)在x0不可导，　f(x)2x3/21x

0x0

三、三、解下列各题

2x

12x1lim

1．

x0

x2

12x2x2ln12x

lim

解：原式＝2．x

x0

1x



4x

12x

2x

1x

224

.

limx2(33

1x

2)

1x

；

1x

1x

ln32

limln3(3x3x)ln32x

1

1

332ln333limlimxx211

xx2解：原式＝



设曲线方程为

3．xt2sintd2y

ytcost,求此曲线在x=2 的点处的切线方程,及dx2

x2

。

;..

,.

x2时y1,t0y

sintcost1

y

解：

四、四、试确定a,b,c的值，使y=x3+ax2+bx+c在点(1,-1)处有拐点，且在x=0处有极大值为1，并

求此函数的极小值。解：

1cost3

1sint11

yt0切线方程：y1x2

1cost22

sin0cos011

yx2

41cos03

y3x22axb,y00b0,y(0)1,c1.y6x2a,y(1)62a0,a3.

yx33x21,y3x26x3x(x2)y0时，驻点：　　x10,x22,y060.极小值y(2)3。

五、五、若直角三角形的一直角边与斜边之和为常数，求有最大面积的直角三角形。解：设所给直角边为x,斜边与其之和为L，则

1x2

xLxx2L22Lx22

LL3x1x

sL22Lx22L2Lx2L22Lx

L

令s0x这是唯一驻点，且最大值存在，故

3L2L

s为最大面积，此时x边与斜边夹角为

3 363

,e. 六、六、证明不等式：s

lnx1lnx则f(x)0(xe)2xx

ln()ln()

f(x)在(a,)上单减，f()f(),　　即　

证：令f(x)

ln()ln()lnln.

2limnf.n

n 七、七、 y=f(x)与y=sin(x)在原点相切，求极限



解：f(0)sin(0)0.f(0)sinxx0cos01,

当x0时f(x)与x是等价无穷小，2f2/n2

　　limnflim2nnn2/n

八、八、设 f (x)在[0,1]上连续且在 (0,1 ) 内可导，且f (0) = f (1) = 0, f (1/2) = 1.

证明：(1)至少有一点ξ∈(1/2,1)，使得f(ξ)= ξ; (2)R ，存在(0,)，使得f’()-[f()-]=1 证：（1）令F(x)=f(x)-x,则f在[0,1]连续，在(0,1)可导， F（1/2）=f(1/2)-1/2>0

F(1)=f(1)-1=0-1<0,∴在(1/2,1)内至少有一点，使F（ ）=0,即f ()=.。 (2) 证：

;..

,.

令G(x)exF(x),G()0,G(0)00,使得G0.

eF()eF0得出F＝F()即f()1f于是ff1

一、

一、选择题（每题4分，共16分）

1

x

lim(1x)

1．

x0

limxsin

x

1

x（ D ）。

1

A、e； B、e； C、e1； D、e2．设

1

1

f(x)xlnx在x0处可导，且f(x0)2，则f(x0)（ B ）。

2

A、0； B、e； C、1； D、e。 3．若sin2x是

f(x)的一个原函数，则xf(x)dx（ D ）。

A、xsin2xcos2xC； B、xsin2xcos2xC；

11

xsin2xcos2xCxsin2xcos2xC

22C、； D、。

4．已知函数

A、aB、aC、a

f(x)x3ax2bx在x1处取得极值2，则（ B ）。 3,b0且x1为函数f(x)的极小值点； 0,b3且x1为函数f(x)的极小值点； 3,b0且x1为函数f(x)的极大值点；

D、a0,b3且x1为函数

二、填空题（每题5分，共20分）

f(x)的极大值点。

lim

1．

2x

x1



x0exex2。

3

232

1x3dx9(1x)C

。

2．

sinx34(cosx)dx221x

3。 3．

,,为向量，k为实数。4．设,若||||1,||||1，

1则k2。

2



，2,k，

，

三、计算下列各题（每题9分，共45分） 1．求极限x0

limxx

。

lnx

x01

xlim

1limxx01

解：x0

limxlime

x0

xxlnx

e

x0

limxlnx

ee

x2

1

d2y

|xy2x0eexy0yy(x)dx2．函数由方程确定，求。

;..

,.

exeyxy0exeyyyxy0

xyy2

eeyeyyyxy0解：

d2y

|22x0x0,y0y1dx 又，，得。

3．求定积分

解

1

12

2

1x2

dx2

x。

：

xst1x22222dxcottdt(csct1)dt12244

x24

4．求过点(3,1,2)且与平面x2z1和y3z2平行的直线方程。

ijk

2(2,3,1)

x3y1

z23，2。

s10

解：

013

5．设

1

sinx, 0xf(x)2x

(x)f(t)dt0, 其它0，求。

解：x0，

(x)f(t)dt0

0

x

0x，

x

，

(x)f(t)dt

0x0

x

1x1sintdt(1cosx)022

(x)f(t)dt

x1

sintdt0dt102

四、（7分）长为的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形，问这两段铁丝各为多长时，正

方形的面积与圆的面积之和最小？

l

(l4x)2

S(x)x

x4。解：设正方形的边长为，则正方形的面积与圆的面积之和为l4xl4l4l

S(x)2x20x,l

4。所以两段铁丝分别为44时，正方形的面积，

2

与圆的面积之和最小。

五、解答下列各题（每小题4分，共12分） 1．设曲线

y1x2 (0x1)，x轴以及y轴所围区域被曲线yax2(a0)分成面积相等的两

部分，求a。

解：由



1a1

0

(1xax)dx

22

1a1

0

axdx

2

11a1

(1x2)dx

，a3

x

2．设函数f(x)在[0,1]上连续，且0个实根？并证明你的结论。解

：

f(x)1。判断方程2x0f(t)dt1在(0,1)内有几

F(x)

0

2x

01

x

f(t)F(xd)，

，所以

1t

在

在

[0,1]

上连续，

F(0)1,F(1)1f(x)dx0

;..

F(x)(0,1)

内有一个零点。又

,.

F(x)2f(x)2110，F(x)在[0,1]上是单调递增的，所以F(x)在(0,1)内有唯一

2xf(t)dt1(0,1)

0零点，即在内有唯一实根。

3、设函数

x

f(x)在[0,1]上可导，且f(1)2xf(x)dx0，求证在(0,1)内至少存在一点，使得

1

20

f()

解：F(x)

f()



。

120

xf(x)，F(x)在[0,1]上可导。由f(1)2

1c[0,]xf(x)dx0

2，使得，存在

f(1)2cf(c)

f()

即

1

0

1)cf(c)2，即f(

f()

。由Roll定理，存在(c,1)(0,1)，使得F()0，



。

高等数学第一学期半期试题解答（05）

一．一．（共20分）试解下列各题：

设y

1．

x1x1x1x1

,(x1)求dy

。

y

解：2．

12



x1x1



2

dy



11

x1x1dx

2x12x1

dydx。



设方程xyarctany0确定了yy(x),求

y

1y02

1y解：

1y2

y

y2

x3ax2x4

A.。则a= 4 , A= -6 3．设lim

x1x1

1x

4．函数yx2的极小值点。

ln2

x

cosx2,x05. 设f(x)(a0) aax

x,x01cosx1aax1

解：f(0)limlim

2x0x22x0x2a

故a1时x0是连续点，a1时x0是间断点。

二．二．（10分）若

点？说明理由。

yf(x)是奇函数且x=0在可导,

F(x)

f(x)

x在x=0是什么类型的间断

解：由f(x)是奇函数，且在x0可导，知f(x)在x0点连续，f(0)f(0)故f(0)0

f(x)f0limF(x)limf0存在,故为第一类间断点可去。

x0x0x0

三．三．（共20分）求下列极限

1．

x

limx

2

1

(3x

3

1x

2)

；

解

：

原

式

＝

;..

,.

1x

1x

1x

1x

332ln333limlimxx211

xx2



ln32x

limln3(33x)ln32x

11

2.x0

lim

(12x)

x

2

2x

1

；解：原式＝

12x2x2ln12x

lim



x0

4x

12x

2x

224

xt2sintd2y

设曲线方程为

ytcost,求此曲线在x=2 的点处的切线方程,及dx2。 3．

1sint11

解：x2时y1,t0yyt0切线方程：y1x2

1cost22

sintcost1y

1cost3

22

(x1)lnxx1x0四．四．（10分）证明：当时，。

证明：当x1时，令f(x)lnx在[1,x]上用拉氏中值定理有lnx其中1x即lnx

1



x1

1

x1x1

1

x1同乘以x21有x21lnxx12

x1

11

1x当0x1时，令f(x)lnx在[x,1]上用拉氏中值定理有lnx1x

x1

1

x1同乘以x21有x21lnxx12其中x1即lnx

x1

当x1时等式成立。





x2

五．五．（10分）求内接于椭圆

值。解：

a

2



y2b

2

1

，且底边与x轴平行的等腰三角形之面积的最大

设底边方程为：ytbt0，

t22a

三角形面积Abt2a12

bb设zbtb2t2

2

2

bt2b2t2

2



z2btb

t2

z的最大值点也是A的最大值点。2tbt2btb2t

2

令z0得tb（舍去）t

b2

bb

zb20即t为唯一极大值点，

22

33

ab4

亦即为所求面积之最大值点。最大值为A

六．六．（10分）证明：方程x

并求n。证： ;..

n

xxn1x2x1在（0，1）上必有唯一的实根n(n>2)，

limxn

,.

设f(x)xnxn1x2x1其在[0,1]上连续。f(0)1,f(1)n1由n2知函数在端点异号。

由闭区间上连续函数零点定理知至少有一点(0,1)使f()0.

又fnxn12x10知函数f(x)单调增加，故在(0,1)上有唯一实根。由

xnxnxn1

n1n

n1

xnxn1

n

2

2

xn1xn1xn11

5151

因此0xn1故由极限存在准则知其有极限，设极限知xn是单调下降数列，而x2



22

由方程有xn

n1xn1x1两边n取极限x01解出x1

0

n1x02

七．七．（10分）确定常数a、b,使极限lim1acos2xbcos4x

存在，并求出其值。

x0x4解：要使极限存在，分子与分母应是极限过程中的同阶无穷小或高阶无穷小，于是有1＋a+b=0，用一次罗

必达法则分子仍为无穷小，有a+4b=0 解出：a=-4/3 b=1/3 代入求得极限为8/3

八．八．（10分）设f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可微，且 f (a) = f (b) =0,证明：对

R,ca,b，使得fcfc。

证明：构造函数F(x)=

e-x f (x) 则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可微F (a) = F (b) =0由罗尔定理

R,ca,b，使得Fc0,而Fxexfxexfx

即有R,ca,b

，使得fcfc 证毕。

;..

本文来源：https://www.wddqw.com/doc/ed4c7893c47da26925c52cc58bd63186bceb92e6.html

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