2014-2015学年高中数学 1.1.3四种命题间的相互关系课时作业 新人教A版选修2-1
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word 四种命题间的相互关系 (30分钟 50分) 一、选择题(每小题3分,共18分) 1.(2014·某某高二检测)命题“如果x≥a+b,那么x≥2ab”的等价命题是( ) A.如果x+b,那么x<2ab B.如果x≥2ab,那么x≥a+b C.如果x<2ab,那么x+b D.如果x≥a+b,那么x<2ab
【解析】选C.等价命题即为原命题的逆否命题,故选C.
2.(2014·某某高二检测)若命题p的等价命题是q,q的逆命题是r,则p与r是
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A.互逆命题 C.互逆否命题
B.互否命题
D.不确定
【解析】选B.因为p与q的条件与结论既互换又否定,且q与r的条件与结论互换,所以p与r的条件与结论是相互否定的,故p与r是互否命题.
【举一反三】本题中的条件“q的逆命题是r”若换为“q的否命题是r”,其他条件不变,其结论又如何呢? 【解析】选A.因为p与q是互逆否命题,q与r是互否命题, 所以p与r是互逆命题.
3.(2014·某某高二检测)在命题“若函数f(x)是偶函数,则f(x)的图象关于y轴对称”的逆命题,否命题,逆否命题中结论成立的是( ) A.都真
B.都假
C.否命题假,逆命题真 D.逆否命题假
【解析】选A.因为f(x)是偶函数,与f(x)的图象关于y轴对称是等价的,故四种命题均为真命题. 4.关于命题:“设a,b为实数,若ab=0,则a,b至少有一个为0.”有下列说法: ①原命题为真命题;②逆命题为真命题;③否命题为“设a,b为实数,若ab≠0,则a,b不都为0”;④逆否命题为“设a,b为实数,若a,b都不为0,则ab≠0”. 其中,说法不正确的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
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【解析】选B.①原命题为真命题;②逆命题为“设a,b为实数,若a,b至少有一个为0,则ab=0”,真命题;③否命题为“设a,b为实数,若ab≠0,则a,b都不为0”,故③不正确;④正确. 5.关于原命题“在△ABC中,若cosA=2sinBsinC,则△ABC是钝角三角形”的叙述: ①原命题是假命题;②逆命题为假命题;③否命题是假命题;④逆否命题为真命题. 其中,正确的个数是( ) A.1
B.2
C.3
D.4
【解题指南】利用三角形内角和定理以及三角恒等变换,建立三角形内角的关系判断原命题的真假,逆命题的真假尝试特殊角的钝角三角形验证三角恒等式是否成立. 【解析】选C.在△ABC中,若cosA=2sinBsinC, 则-cos(B+C)=2sinBsinC,得 cosBcosC+sinBsinC=0,
得cos(B-C)=0,故B-C=90°或B-C=-90°,
即B=C+90°或C=B+90°,故△ABC是钝角三角形,原命题与逆否命题为真命题. 逆命题和否命题互为逆否命题,是假命题, 如在钝角△ABC中,A=15°,B=15°,C=150°,
cosA=cos15°=,
sinB=sin15°=,sinC=sin150°=,
2sinBsinC=≠cosA.
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6.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a+b+c≥3”的否命题的等价命题是
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A.若a+b+c≠3,则a+b+c<3 B.若a+b+c=3,则a+b+c<3 C.若a+b+c≠3,则a+b+c≥3 D.若a+b+c≥3,则a+b+c=3
【解析】选D.由于原命题的否命题的等价命题,即为原命题的逆命题,故选D. 二、填空题(每小题4分,共12分)
7.(2014·某某高二检测)下列命题中是真命题的是 _______.
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①命题“面积相等的三角形全等”的否命题; ②命题“若m≤1,则x-2x+m=0有实根”的逆否命题; ③命题“若A∩B=B,则A⊆B”的逆否命题.
【解析】命题①的否命题:面积不相等的三角形不全等,是真命题. 命题②的逆否命题:若x-2x+m=0无实根,则m>1,是真命题. 命题③是假命题.因此其逆否命题也是假命题. 故真命题为①②. 答案:①②
8.在空间中,①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线;②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.以上两个命题中,逆命题为真命题的是 _________.
【解析】①中的逆命题是:若四点中任何三点都不共线,则这四点不共面.
我们用正方体AC1做模型来观察:上底面A1B1C1D1的顶点中任何三点都不共线,但A1,B1,C1,D1四点共面,所以①的逆命题不是真命题.
②中的逆命题是:若两条直线是异面直线,则两条直线没有公共点. 由异面直线的定义可知,成异面直线的两条直线不会有公共点, 所以②的逆命题为真命题. 答案:②
【举一反三】本题的两个命题中逆否命题为假命题的是. 【解析】命题②为假命题,因此它的逆否命题为假命题. 答案:②
9.命题“已知不共线向量e1,e2,若λe1+μe2=0,则λ=μ=0”的等价命题为,是命题(填真、假).
【解题指南】求原命题的等价命题即为原命题的逆否命题,只需把原命题的条件与结论既交换又否定即可. 【解析】命题“已知不共线向量e1,e2,若λe1+μe2=0,则λ=μ=0”的等价命题为“已知不共线向量e1,e2,若λ,μ不全为0,则λe1+μe2≠0”,是真命题.
答案:已知不共线向量e1,e2,若λ,μ不全为0,则λe1+μe2≠0 真 三、解答题(每小题10分,共20分)
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10.(2014·某某高二检测)写出下面命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.m>时,mx-x+1=0无实根.
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