高二数学经典例题 (52)

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高中数学例题：利用空间向量求空间角和距离

1．在正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且 SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是( )

A．30° B．45° C．60° D．90°

答案：A 解析：如图，以O为坐标原点建立空间直角坐标系O－xyz.

设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)， C(－a,0,0)，P



0，－a，a22. →→aa→

则CA＝(2a,0,0)，AP＝

－a，－2，2

，CB＝(a，设平面PAC的一个法向量为n， 设n＝(x，y，z)，则→

n·CA＝0，

→n·AP＝0，

解得x＝0，



y＝z，

可取n＝(0,1,1)，

→→

则cos〈CB，n〉＝CB·na1

→＝|CB||n|2a2·2＝2，

→

∴〈CB，n〉＝60°，

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a,0)，

∴直线BC与平面PAC所成的角是90°－60°＝30°.

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本文来源：https://www.wddqw.com/doc/db40c28e30b765ce0508763231126edb6e1a7619.html

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