高中数学学好圆锥曲线的策略思想及方法学法指导

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高中数学学好圆锥曲线的策略思想及方法

圆锥曲线知识将几何与代数进行了完美结合，是高中数学的重要内容之一，也是常有新题出现的板块。各种解题方法在这里表现得比较充分，尤其是把平面向量与平面解析几何融合在一起，综合性很强，题目多变，解法灵活，能充分体现同学们的数学综合素质。为此需要我们做到以下几个方面。

1. 重点掌握椭圆、双曲线以及抛物线的定义和性质，这是学好圆锥曲线的基础，这类题型在各类考试中经常出现。

x2y2

例1. 已知双曲线221的离心率e12，左右焦点为F1、F2，左准线为l，能

ab

否在双曲线的左支上找一点P，使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项？

2

解：假设在左支上存在点P，使得|PF1||PF2|d，由双曲线第二定义知： |PF1||PF2||PF1|

e，即e，|PF2|e|PF1| ① d|PF1|d

再由双曲线的第一定义得|PF2||PF1|2a 由①、②解得|PF1|

②

2a2ae

，|PF2|

e1e1

2a2ae

而|PF||PF|2c，即2c 12

e1e1

e22e10，解得12e12，这与已知e12矛盾。故满足条件的点P

不存在。

注：此类问题主要涉及到圆锥曲线的定义及其应用，往往有一定的灵活性。 2. 重视平面向量与解析几何的融合，掌握求曲线方程或轨迹的常用方法：定义法、直接法、待定系数法、相关点以及参数法等。

例2. 在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，－3）为△OAB的直角顶点。已知



|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零。（1）求向量AB的坐标；（2）是否存在实数a，使抛物线yax21上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，请说明理由；若存在，求a的取值范围。



|AB|2|OA|

解：（1）设AB(u，v)，则由



ABOA0

u2v2100u6u6即，解得 或

v8v84u3v0



∵OBOAAB(u4，v3)，且v30



（6，8）∴v8，故AB 

（u4，v3）＝（10，5）（2）由题意解得OB，B的坐标为（10，5）。OB的直线方

程为x=2y。设P（x1，y1），Q（x2，y2）为抛物线上关于直线OB对称的两点，则

x1y1x1

x2yy22210xx21222y1ax11a

，，得 2y252ax1x2y2ax212

x22a2

用心爱心专心

252ax0的两个相异实根 2a2a

452a3

0，得a由24

2a2a2

3

故当a时，抛物线yax21上总有关于直线OB对称的两个点

2

3. 加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的学习。这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识、线段的中点、弦长、垂直关系等问题。因此分析问题时需用数形结合的思想和设而不求法以及弦长公式和韦达定理综合进行，才能提高数学素质。

y2x2（12m5）例3. 已知椭圆，过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准mm1

线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设f(m)||AB||CD||。（1）求f(m)的解析式；

即x1、x2为方程x2（2）求f(m)的最值。

解：设椭圆的半长轴、半短轴以及半焦距依次为a、b、c，则a2m，b2m1，

c2a2b21

椭圆的焦点为F1（－1，0），F2（1，0），故直线的方程为yx1

a2

m1），D（m，m1）又椭圆的准线方程为x，即xm，A（m，。

c

y2x21，消去y得：把直线方程yx1带入椭圆方程

mm1

(m1)x2m(x1)2m(m1)

即(2m1)x22mx2mm20

(2m)24(2m1)(2mm2)8m(m1)2

2m

由题意知△>0恒成立，xBxC

2m1

∵A、B、C、D都在直线y=x+1上 ∴|AB|2(xBxA)，|CD|2(xDxC)

∴||AB||CD||2|(xBxC)(xAxD)| ∵xAxD0

2m

（2m5）∴||AB||CD||2|xBxC|2 2m1

22m

（2m5） 2m1

22111

（2）∵f(m)，且222

12m52

m

10242

f(m) ∴由函数的单调性可知 93

注：本题主要考查利用解析几何的知识建立函数关系式，并求其最值，体现了几何知识与代数的综合。

故f(m)

练一练

y2

1上求一点P，其坐标为_______1. 已知点A（3，2），F（2，0），在双曲线x3

2

用心爱心专心

时，|PA||PF|的值最小。

2. 过点A（－2，0）作圆x2y21的割线ABC，则弦BC的中点M的轨迹是_______。 3. 若椭圆ax2by2（1a0，b0，ab）与直线xy1交于A、B两点，且

1

2

|AB|=22，线段AB中点M的坐标（22，21），求椭圆方程。

答案：

21，2） 3

2. x2y22x（ 01x0）

1. （

提示：设直线的点斜式方程，然后与圆的方程联立，利用韦达定理转化即可求得

2y2x21 3. 33

用心爱心专心

本文来源：https://www.wddqw.com/doc/935573b7747f5acfa1c7aa00b52acfc788eb9f6c.html

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