数理统计方法题解4-3

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4.19 从某厂生产的布匹中抽查50匹，查得布匹上的疵点数如下：

疵点数频数

0 20

1 16

2 8

3 6

≥4

0

问：是否可以认为每匹布上的疵点数  服从Poisson（普阿松）分布？（显著水平0.05）

解问题相当于要检验 H0：～P{k}

k

k!

e，k0,1,2, ，其中含有一个未

知参数。

先求的极大似然估计。在习题三的3.3题中，我们已经推导出，当总体服从Poisson

ˆX。所以有分布时，的极大似然估计为 

11r

ˆxnkxk(2001618263)1 。

50nk1

作分点 0.50.51.52.5，把  的取值范围分成4个区间：

(0.5,0.5]，(0.5,1.5]，(1.5,2.5]，(2.5,)。

H0为真时， 落在各区间中的概率的估计值为：

ˆ{0.50.5}Pˆ{0}ˆ1Pp

ˆ00!

e

ˆ

101

e0.36788 , 0!

ˆ1ˆ111ˆˆˆ2P{0.51.5}P{1}ee0.36788 , p

1!1!

ˆ{1.52.5}Pˆ{2}ˆ3Pp

ˆ22!

e

ˆ

121

e0.18394 , 2!

ˆ{2.5}1Pˆ{2.5}1pˆ1pˆ2pˆ3 ˆ4Pp

10.367880.367880.183940.08030 。

2

1202162826214nk

)501.589 。 n(

ˆ500.367880.367880.183940.08030nk1pk2

2

对 0.05，10.95, 自由度 rm14112 ，查分布表，可得

2

12(rm1)0.95(2)5.991。

由于1.5895.991，因此接受 H0：～P{k}可以认为每匹布上的疵点数服从Poisson分布。

１２

2

k

k!

e，k0,1,2, ,

4.20 从某车床生产的滚珠中，抽取50颗，测得它们的直径（单位：mm）落在各区间中的频数为：

区间（14.14，14.51] （14.51，14.88] （14.88，15.25] （15.25，15.62] （15.62，15.99] 频数

6

8

20

11

5

已知滚珠直径的样本均值为 X15.078 ，样本标准差为 S0.428154 。问：滚珠的直径  是否服从正态分布？（显著水平0.05）

解问题相当于要检验 H0：～N(,2) ，其中，参数，都未知。

在3.1节的例5中，我们已经推导出，当服从正态分布时，，的极大似然估计分别是 X 和 S ，所以有

ˆS0.428154 。 ˆX15.078 ，

作分点14.5114.8815.2515.62，把  的取值范围分成5个区间。

ˆk 可由下式求出：总体  落在各个区间 (ak1,ak] 中的概率的估计值 p

ˆˆak1ˆ{aa}(akˆkP)() 。 pk1k

ˆˆ

用本题的数据代入，得计算结果如下：

（，

14.51]

（14.51，14.88]

（14.88，15.25]

（15.25，15.62]

（15.62，）

(ak1,ak]

nk ˆk p

2

6 0.11682

8 0.18778

20 0.26234

11 5 0.19811

0.23495

2

1rnk

n

ˆknk1p

1628220211252()502.214 。 

500.092320.229560.334180.241170.10277

222

对 0.05，rm12，查分布表，可得1(rm1)0.95(2)5.991。

因为2.2145.991，所以接受 H0：～N(,) ,可以认为滚珠的直径服从正态分布。

4.21 为研究色盲与性别的关系，对1000人作统计，得到结果如下：

１３

22

色盲正常

男 38 442

女 6 514

问：色盲是否与性别有关？（显著水平0.05）

解设  为患色盲的状况， 为性别，问题相当于要检验 H0： 与  独立。首先，求出联立表中各行、各列的总和：

色盲正常总和

n(

2

2

男 38 442 480

女 6 514 520

总和 44 956 1000

n

i1j1

rs

nij

i

nj

1)

3826244225142

1000(1)27.139 。

4448044520956480956520

对显著水平0.05，自由度(r1)(s1)(21)(21)1，查 2 分布表，

22

可得分位数 1)(s1))0)3.841 。 ((r1.95(1

因为227.1393.841 ，所以拒绝 H0： 与  独立，可以认为色盲与性别有关。

4.22 为研究青少年犯罪与家庭状况的关系，对1154名青少年进行调查，得到统计结果如下：

双亲完整家庭单亲残缺家庭

无犯罪记录

973 70

有犯罪记录

88 23

问：青少年犯罪是否与家庭状况有关？（显著水平0.05）

解设  为家庭状况， 为有无犯罪记录，问题相当于要检验 H0： 与  独立。首先，求出联立表中各行、各列的总和：

双亲完整家庭单亲残缺家庭

总和

2

无犯罪记录

973 70 1043

有犯罪记录

88 23 111

总和 1061 93 1154

n(

2

i1j1

rs

nij

ninj

1)

9732882702232

1154(1)26.573 。

10611043106111193104393111

１４

对显著水平0.05，自由度(r1)(s1)(21)(21)1，查 2 分布表，

2

可得分位数 12((r1)(s1)))3.841 。 0.95(1

因为 226.5733.841 ，所以拒绝 H0： 与  独立，可以认为犯罪与家庭状况有关。

4.23 为研究地下水位变化与地震的关系，某地震观测站收集了如下1700个观测结果：

水位有变化水位无变化

有地震 98 82

无地震 902 618

问：地下水位变化是否与地震有关？（显著水平0.05）解设  为地下水位是否有变化， 为地震是否发生。

问题相当于要检验 H0： 与  独立。首先，求出联立表中各行、各列的总和：

水位有变化水位无变化总和

2

有地震 98 82 180

无地震 902 618 1520

总和 1000 700 1700

2n(

i1j1

rs

nij

ninj

1)

98290228226182

1700110001801000152070018070015201.5938 。



对显著水平 0.05 ，自由度 (r1)(s1)(21)(21)1 ，查 2 分布

22

表，可得分位数 1)(s1))0((r1.95(1)3.841 。

2

因为 1.59383.841 ，所以接受假设 H0： 与  独立，地下水位变化与

发生地震无关。

4.24 为研究儿童智力发展与营养的关系，抽查了950名小学生，得到统计数据如下：

营养良好营养不良

智商

＜80 245 31

80～89 228 27

90～99 177 13

≥100 219 10

问：儿童的智力发展是否与营养状况有关？（显著水平0.05）

解设  为营养状况， 为智商情况，问题相当于要检验 H0： 与  独立。

１５

首先，求出联立表中各行、各列的总和：

营养良好营养不良总和

智商

＜80 245 31 276

r

s

2

80～89 228 27 255

90～99 177 13 190

≥100 219 10 229

总和 869 81 950

2n(

i1

nij

j1ninj

1)

2452228217722192

950(

869276869255869190869229

3122721321021)9.751 。 81276812558119081229

对显著水平0.05，自由度(r1)(s1)(21)(41)3，查 2 分布表，

2

可得分位数 12((r1)(s1))0.95(3)7.815 。

因为 9.7517.815，所以拒绝 H0： 与  独立，可以认为智力发展与营养状况有关。

2

１６

本文来源：https://www.wddqw.com/doc/928752df4593daef5ef7ba0d4a7302768e996f08.html

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