2014年辽宁高考数学（文、理）16题的几种解法 大连48中学-----何兆强 下面我们给出2014年辽宁高考数学（文、理）16题的几种解法，展现思维的全过程和不同方法技巧。 （理）16. 对于 ，当非零实数a，b满足 ，且使 最大时， 的最小值为 . （文）16. 对于 ，当非零实数a，b满足 ，且使 最大时， 的最小值为 . 题目（理）拿到手后，分析已知条件，关键是找到a、b之间的关系、a、c之间的关系，这样就可以把要求的 的最小值问题看成关于 的二次函数，进而利用配方法求解最小值。 方法一：设置a、b关系法 解：设 ，带入 ，得到 ①，不妨将 平方，再讲①带入，可得： ，由二次函数特点，显然当 时，即 时 有最大值，此时说明 ②. 将 带入①知， ③ 再将②、③带入 ，整理可得， ，从而 的最小值为-2. 方法二：方程法 解： 可变形为 ，把此式看成关于b的一元二次方程，必有解。由根的判别式可得： ，解得： ，显然 ，讲其写成 ①后带入 中可得： ，从而得到说明 ②，将②带入①得 ，以下同方法一。 方法三：数形结合法 解：把二元二次方程 （c为常数）看成某条曲线，把 看成曲线上一点 到直线 距离的 倍，由此问题可转化成曲线上一点到直线的最大距离问题。平移直线 直至与曲线 相切，基于这种想法，我们需要联系方程组， ，消去变量b，得到关于a的一元二次方程， ，令 ，即 ①，而方程 的唯一解是 ②，即 带入 中可得 ，再由①、②可得 ③，以下同方法一。 方法四：柯西不等式法 解： 可变形为： ，由柯西不等式知， ，即 ，当且仅当 时取“=”，即 ，带入 中，可得 ，以下同方法一。 题目（文）拿到手后，分析已知条件，关键是利用均值不等式找到a、b之间的关系、a、c之间的关系，这样就可以把要求的 的最小值问题看成关于 的二次函数，进而利用配方法求解最小值。 文科这道题目理科以上四种方法均适用，但不必如此麻烦，我们给出均值不等式方法，或者更加巧妙的轮换式。 解： 可写成 ，利用均值不等式， ，即 ，那么 ，即 ，当且仅当 时取“=”，将 带入 可得 . ,从而 的最小值为-1. 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/8df835d0b90d4a7302768e9951e79b896802686f.html