数学竞赛题目难度对比

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期末试题摘录

1、

xdyydxxy

2

2

L

=0，其中L为圆周x2y21按逆时针转一周．

核心提示：教材例题

xyzdS=（）

2

2

2



2、如果代表球面x2y2z21,则

43

（A）2 （B）4 （C） （D）3

核心提示：先代入即可

(x,y)(0,0)

3、求极限

lim

xyxy

2

2

．

核心提示：夹逼法

2

2

L

4、计算(2xyx)dx(xy)dy，其中L是由抛物线yx2，xy2所围成的区域的正向边界曲线．

核心提示：按“一代二定限”或格林公式算即可核心提示：条件极值



5、在椭圆x24y24上求一点，使其到直线2x3y60的距离最短．

(2x1)

n

n

6、求幂级数

n1

的收敛区间和收敛半径．

核心提示：先求导再求和函数

1010

7、曲线yx2上从点(0,0)到(1,1)这段弧长为( ) （A）（C）

1xdx; （B）14xdx; （D）

aa

2

22

1010

1xdx; 12xdx.

4

核心提示：记住弧长微分公式即可

axdx .

2

8、设a0，由定积分的几何意义知，

2

核心提示：几何意义

2

9、由直线y0，x8及抛物线yx围成一个曲边三角形，在曲边yx上求一点，使曲线在该点处的切线与直线y0及x8所围成的三角形面积最大.

核心提示：定积分几何意义、最值

2010年成都大学第一届竞赛题填空

填空题（每题2分，共20分） 1. 设lim

n







n

n(n1)

2011，则________,_______。

核心提示：考虑二项式展开、求极限与最高次幂的系数关系

。2. 设f(x)x(x1)(x2)(x1000)，则f'(0)

核心提示：定义求法

。

3. 函数f(x)(x23x3)ex在[4,)内的最小值为

核心提示：教材基本求法

4. 求极限设a0,b0，则

1n

2



a0

dxe

0

b

max{bx,ay}

2222

dy

。

核心提示：二重积分，分片，选序

n

5.求极限lim

(n2nn)1n

2

2

2n

n)

2

核心提示：定积分的定义



(n

1n

(

1n



2n



nn

)

6.级数

n1

(x2)n4

n

2n

的收敛域为____________。

核心提示：缺奇数次幂---绝对比值法

7. 一平面经过(1,0,1)和(2,1,3)，且垂直于x2y3z20,则该平面方程为_____。

核心提示：基本理论

8. 函数uln(x2y2z2)在M(1,2,2)处的梯度gradu|M为____________。核心提示：基本理论

9．求值

2



sinxx2

4

____________。

xy1

2

核心提示：对称区域上的重积分

10、（2011年成都大学数学竞赛）设a0，{xn}满足：

x00,xn1

12(xn

axn

),

n0,1,2,

证明：{xn}收敛，并求limxn。

n

核心提示：单调有界原理-----高手可以尝试定义法

2010年竞赛题部分

11.设D{(x,y)|0yx,xy2x}，则

D

22

xydxdy

22

=____________。

核心提示：极坐标（重积分选系）



12. 级数(xn)3中x20的系数为

n1

。

核心提示：基本理论

13（2011年成都大学数学竞赛）设函数f(u)在(0,)内具有二阶导数，且

zf



xy

22

满足等式x

z

2

2



zy

2

2

0.

（I）验证f(u)

0； u

（II）若f(1)0,f(1)1，求函数f(u)的表达式.

f(u)

核心提示：偏导数、常微分方程——综合题

xy0,xy0.

2

2

2

2

22

xy

,xy22

14（2010年成都大学数学竞赛）设二元函数f(x,y)xy



0,

求：

(1)afxy(0,0)和bfyx(0,0)的值;

2

x

(2)满足y'(x)xy'(x)k(待定常数)及y(0)a,limy(x)b的函数yy(x)的表达式。

核心提示：偏导数、极限、微分方程

思考

1判断：设

f(x)

是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则当f(x)为奇函数时,F(x)必为

偶函数（）

2判断：设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则当f(x)为单调增函数时,F(x)必为单调增函数. （） 3. 填空F(x)



x0

(xt)f(t)dt

22

对x的导数是（）

x2y22

,xy022

4. 设f(x,y)xy，则f(x,y)在点(0,0)的偏导数是（）

22

,xy00

(A) 不连续；

(C) 可微；

(B) 连续但偏导数不存在； (D) 连续且偏导数存在但不可微.

本文来源：https://www.wddqw.com/doc/749dd23010661ed9ad51f3bf.html

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