word 分层限时跟踪练(十三) (限时40分钟) [基 础 练] 扣教材 练双基一、选择题 1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′(1)等于( ) A．－e B．－1 C．1 D．e 1【解析】 ∵f′(x)＝2f′(1)＋，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，即f′(1)＝－1. x【答案】 B 2．(2015·豫东、豫北十所名校联考)已知f(x)＝2esin x，则曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为( ) A．y＝0 C．y＝x xxB．y＝2x D．y＝－2x x【解析】 ∵f(x)＝2esin x，∴f(0)＝0，f′(x)＝2e·(sin x＋cos x)，∴f′(0)＝2，∴曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x. 【答案】 B 3．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( ) 【解析】 由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应逐渐增大，故函数的图象应一直是下凹的，故选B. 【答案】 B 4．(2015·某某模拟)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A．e 1C. eB．－e 1D．－ e1【解析】 y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝，设切点为(x0，ln x0)，则y′|xx1 / 6 word 11＝x0＝，切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x0＝－1，解得x0x0x0＝e，故此切线的斜率为. 【答案】 C 5．直线y＝kx＋1与曲线y＝x＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值等于 ( ) A．2 C．1 B．－1 D．－2 331e1＋a＋b＝3，2【解析】 依题意知，y′＝3x2＋a，则3×1＋a＝k，k＋1＝3，以2a＋b＝1，选C. 【答案】 C 二、填空题 a＝－1，由此解得b＝3，k＝2， 所6．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝. 【解析】 ∵f′(x)＝3ax＋1，∴f′(1)＝3a＋1. 又f(1)＝a＋2， ∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1. 【答案】 1 7．已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则f′(0)＝. 【解析】 令g(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则f(x)＝xg(x)， ∴f′(x)＝g(x)＋xg′(x)，∴f′(0)＝g(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120. 【答案】 －120 8．经过原点(0,0)作函数f(x)＝x＋3x图象的切线，则切线方程为． 【解析】 f′(x)＝3x＋6x.当(0,0)为切点时，f′(0)＝0，故切线方程为y＝0. 当(0,0)不为切点时，设切点为P(x0，x0＋3x0)，则切线方程为y－(x0＋3x0)＝(3x0＋6x0)(x－x0)，又点(0,0)在切线上，所以－x0－3x0＝－3x0－6x0，解得x0＝0(舍去)或x0＝－3，故切线方程为9x＋4y＝0. 2【答案】 y＝0或9x＋4y＝0 三、解答题 2 / 6 32323232223223word 9．已知函数f(x)＝x＋x－16. (1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程； (2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标． 【解】 (1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上． ∵f′(x)＝(x＋x－16)′＝3x＋1. ∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13. ∴切线的方程为y＋6＝13(x－2)， 即y＝13x－32. (2)设切点坐标为(x0，y0)， 则直线l的斜率为f′(x0)＝3x0＋1， 2323y0＝x30＋x0－16， ∴直线l的方程为y＝(3x0＋1)(x－x0)＋x0＋x0－16. 又∵直线l过坐标原点(0,0)， ∴0＝(3x0＋1)(－x0)＋x0＋x0－16， 整理得，x0＝－8， ∴x0＝－2， ∴y0＝(－2)＋(－2)－16＝－26， 得切点坐标(－2，－26)， 332323k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)． 10．已知函数f(x)＝x＋(1－a)x－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)． (1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值； (2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值X围． 【解】 f′(x)＝3x＋2(1－a)x－a(a＋2)． f0＝b＝0，(1)由题意得f′0＝－a232a＋2＝－3， 解得b＝0，a＝－3或a＝1. (2)∵曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线， ∴关于x的方程f′(x)＝3x＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4(1－a)＋12a(a＋2)>0， 即4a＋4a＋1>0， 1∴a≠－. 22223 / 6 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/721fffbb2b4ac850ad02de80d4d8d15abe2300a2.html