立 体 几 何 的 平 行 和 垂 直 定 理 一、空间中的平行问题 1、直线与平面平行的判定及其性质 （1）判定定理 ：平面外一条直线与此平面内一条直线平行 , 则该直线与此平面平行。（线线平行 线面平行） 符号表示： （2）性质定理：如果一条直线和一个平面平行， 经过这条直线的平面和这个平面相交， 那么这条直线和交线平行。线面平行 线线平行 符号表示： 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、平面与平面平行的判定及其性质 （1）判定定理： 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平 面平行（线面平行→面面平行）， 符号表示： （2）性质定理： 如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行→线线平行） 符号表示： 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 3、在寻求平行关系时，利用中位线、平行四边形等知识是非常常见的手段．有时也 可用“垂直于同一个平面的两条直线平行”进行证明。 二、空间中的垂直问题 1、线线、面面、线面垂直的定义 ①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互 相垂直。 ②线面垂直：如果一条直线垂直于一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和 这个平面垂直。 ③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平 面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。 2、线面垂直判定定理和性质定理 判定定理 ：如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直这个平面。（线线垂直→线面垂直） 性质定理 ：垂直于同一个平面的两条直线平行。 3、面面垂直的判定定理和性质定理 判定定理 ：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。性质定理 ：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直 于另一个平面。 4、在证明线线垂直时，经常利用线面垂直→线线垂直，同时要注意隐含的垂直关系，如等腰三角形的三线合一、矩形的相邻两边互相垂直、直径所对的圆周角为直角、菱形或正方形的两条对角线互相垂直且平分、边长已知时可利用勾股定理得出该三角形 为直角三角形等． 三、 3 种空间角 1、异面直线的夹角 （1）异面直线：既不相交也不平行的直线为异面直线 （2）两条异面直线所成角的范围是（ 0°， 90°] ，若两条异面直线所成的角是直角， 我们就说这两条异面直线互相垂直。 （3）求异面直线夹角的步骤：先将异面直线进行平移使其相交，接着确定其夹角，最 后构造三角形，利用正余弦定理进行计算 2、直线和平面所成的角 （1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平 面所成的角。 （2）求直线与平面所成角的思路：“一作，二证，三计算”。在“作角”时依定义关 键在于找出垂线，进而确定直线在平面内的射影，最后确定直线与平面所成的角 3、二面角 ： （1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二 面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。 （1）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个 面内分别作垂直于棱 ．． ．．． 的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。 （2）直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。 两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两 个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角 1．【 2014 高考北京卷文第 17 题】如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，侧棱垂直于 底面， AB BC ， AA1 AC 2， E、 F 分别为 A1C1、 BC的中点 . 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/3e8a0dd0ab8271fe910ef12d2af90242a995ab68.html