谈五等分圆周的数学原理

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谈五等分圆周的数学原理

摘要：本文探讨尺规作图五等分圆周的数学原理。在机械制图教科书[1][2]上，都介绍这样的用圆规、直尺五等分圆周的作法（如图1）：

1、作圆O 2、作直径MN

3、过O作MN的垂线AO交圆O于A 4、作OM的中点P

5、以P为圆心，PA长为半径作圆弧交直径ＭＮ于Ｑ

6、以Ａ为圆心，ＡＱ为半径作圆弧，交圆Ｏ于Ｂ，Ｅ，再分别以Ｂ，Ｅ为圆心，ＡＱ长为半径作圆弧，交圆O于C，D。

7、边结ABCDE，多边形ABCDE是正五边形

人们不禁要问：这种作法精确吗？是近似作法？还是精确作法？其数学原理是什么？

设图O的半径为1，根据以上作法，则OP=，PQ=PA=

21

52

，QO=PQ

12

=

512

，所以AQ=



51

12

2

=

12

1025

另外，如图2圆O的半径为1，ABCDE为圆O的内接正五边形，S是AB

的中点，则AB

O，

AOSBOS

36010



36



，故边长

AB2A2S

sO。iA

1025

4



如果我们能够证明sin36图方法，是精确作法。

则上述作法就是五等分圆周的尺规作

下面我们推导sin36因为

1025

4

，

sin36sin1442sin72cos724sin36cos36cos72



，

所以

cos36cos72





14

。

14

由倍角公式，有cos362cos2361即cos36是下述三次方程

8x4x10

3

，

的根。因式分解得

2x14x22x10

故方程

8x4x10有下述三个根：

3

x1

12

0,x2

1

4

1

50,x3



1

14

50



，由于cos360,舍去x1,x2，故

方程的唯一正根是cos36，所以cos36

145

，

151

144

2

进而sin361cos236由于根据作法

AB

12

102514

1025

，

，

，

而已证sin36

1025

所以图1中的AB2sin362AOsin36是半径为1的正五边形的一条边，多边形ABCDE是正五边形，此种作法是精确作法。

本文来源：https://www.wddqw.com/doc/37169f54312b3169a451a4c9.html

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