关于三角形垂心的问题

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关于三角形垂心的问题

证明：1垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上

2锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍

如图，设△ABC三条高线AF,BD,CE交与一点H，外心为Q，不妨作H

关于BC的对称点H'

连接BQ并延长，交△ABC外接圆于P 只要证明A,C,H',P四点共圆即可。因为∠BDC=∠AFC=90°

D,H,F,C四点共圆∠3=∠2 (∠2=∠ACB) 又因为A.B.C.P四点共圆故∠2=∠4

又因为H'是关于H的对称点，连接BH'，则△HBH'是等腰三角形 ∠1=∠3

又因为∠3=∠2=∠4 故∠1=∠4

A,B,H',P四点共圆。

H'在△ABC的外界圆上，得证

2,根据“垂心到各顶点的距离之和是外心到3边的距离之和的2倍一说”

可以得到如图，设