第一章函数与极限问答题

时间：2022-07-09 17:05:08 阅读：最新文章文档下载

说明：文章内容仅供预览，部分内容可能不全。下载后的文档，内容与下面显示的完全一致。下载之前请确认下面内容是否您想要的，是否完整无缺。

第一章函数与极限问答题

1．本章的基本概念是函数、极限和连续，简要概括这些概念在整个微积分中的地位与作用。

答：这几个概念是微积分学的基础。连续函数是微积分学的主要研究对象，极限方法是微积分学的基本研究方法。 2．无界函数与无穷大的区别是什么？

答：无穷大一定是无界函数，但是无界函数不一定是无穷大。无穷大是在某个极限过程中整体趋势都是很大，而无界函数的很大不是整体趋势。例如x与sinx的乘积当x趋于无穷大时是无界的，但不是无穷大(因为该函数在这个极限过程中始终有等于0的点存在，即并不是整体趋于的)。 3．复合函数的极限的计算中，为什么要注意验证uu0，如果该条件不成立，原来的计算结论会不成立吗？

答：对于由yf(u)与ug(x)构成的复合函数yf[g(x)]，如果函数f(u)在

uu0处连续，那么g(x)u0时结论仍成立，否则可能不成立。

例如f(u)sgn(u)，当u0时极限为1；但是如果g(x)为常函数0，则当x0时,u当然趋于0,但复合函数的极限为0，而不是1。

4．数列极限存在准则中的条件ynxnzn(n1,2,3,)是否可以改为：N，当nN时， ynxnzn。为什么？

答：可以。因为数列极限研究的是n时的趋势，与前面有限项的大小无关。换句话说，去掉前面不符合ynxnzn的有限项之后形成的新的三个数列的极限其实和以前的三个数列的极限相等。 5．无穷小之和一定是无穷小吗？举例说明。

答：不一定。正确的说法是有限个无穷小之和仍然是无穷小。

1

n(n1)

2n12n112例如lim222lim lim22nnnn2nnnn

这里是无限个无穷小的和等于

6．利用等价无穷小替换的方法可使极限运算更加方便，常用的等价无穷小替换公式有哪些？

答：（1）sinx~x（2）tanx~x（3）arcsinx~x（4）arctanx~x（5）ln(1x)~x （6）ex1~x（7）ax1~xlna（8）1cosx~1x2（9）

2

1x1~

1

x 2

12

（10）(1x)1~x

7．如何理解研究x0是否是f(x)间断点必须以f(x)在点x0的某去心邻域内有定义为前提？

答：如果f(x)在x0的附近没有定义，那么研究函数在x0处是否间断或连续就失去了意义。比如在x2及附近无定义，我们不能说x2是函数的间断点，当然也不能说x2是函数的连续点，本来在这一点就没必要研究这个问题。

8．函数的定义域与定义区间是什么关系？

答：定义区间与定义域有所不同，定义区间是含于定义域内的，是一个区间，定义域不一定是区间。 9．试列举一些计算极限的方法。

(1)利用极限定义，验证某常数为已知变量的极限 (2)利用函数的连续性求极限；

(3)利用极限的四则运算求极限； (4)利用无穷小的性质求极限； (5)利用两个重要极限求极限；

(6)利用夹逼准则和单调有界准则求极限。

10．什么叫渐近线？一般来说函数有几种渐近线，如何求？答：是一条直线且与给定曲线在某个极限过程中足够靠近。

曲线的渐近线有三种，（1）水平渐近线（2）铅直渐近线（3）斜渐近线求法：（1）设lim（2）设lim

xa

x

，则yb是水平渐进线。 f(x)b(常数）

f(x)，则xa是铅直渐进线。

（3）如果alim

x

x

f(x)

0存在，说明曲线有斜渐近线，进一步求得x

blim[f(x)ax]，

则yaxb是曲线的斜渐近线。

第二章导数与微分问答

一、问题

1 fx在x0点的导数定义是什么？ 2 fx0的数学意义是什么？ 3 fx0的几何意义是什么？

4 设质点沿直线运动的位置函数为st，则st0表示什么？ 5 求fx0的方法有几种？各是什么？每种方法如何运用？

220， 6 设ysinx，因为y，所以y上述做法对不对？ 2424

若不正确请指出错误的原因。

7 函数fx在x0点可导与fx在x0连续是什么关系？

8 若fx在x0点不可导，曲线yfx在点x0，fx0处是否一定无切线？

9 函数fx和gx的四则运算求导法则成立的前提是什么？ 10 如何求xfy反函数的导数？

11 复合函数yfgx的求导法则是什么？应用时需注意什么？ 12 初等函数的求导问题是否已经解决？初等函数在其定义域内每一点是否都可导？

13 sin4如何求？sin100如何求？ 14 设yx2sin2x，如何求y的100阶导函数？

15 方程Fx，y0确定隐函数yyx如何求导？求导时注意什么？ 16 幂指函数如何求导？ 17 参数方程

xt确定的函数如何求导？求二阶导时需注意什么？

yt

18 什么是函数yfx在x0处的微分？如何求dy？ 19 函数yfx在一点可微与可导的关系是什么？ 20 微分的几何意义是什么？二、解答

1 设yfx在Ux0内有定义，当自变量x在x0处取得增量

xx0xUx0时，相应地函数取得增量yfx0xfx0；若lim

yx0x

存在，则称函数yfx在点x0处可导，并称这个极限为函数yfx在点x0处的导数。

注意：1 fx0是函数yfx在x0处当自变量有微小的增量x时，相应的函数增量

y与x比，当x0时的极限。因而fx0不仅与fx在x0的函数值

有关，而且与fx在Ux0的函数状态有关。

2 由于自变量增量表示呈多样性，fx0定义的数学表达式呈多样性。

如当自变量增量为h时，fx0lim

h0

fx0hfx0

h

fxfx0

xx0

当自变量增量为xx0时，fx0xlim

x

0

lim 当自变量增量为5x时，fx0

x0

fx05xfx0

5x

2

yfx0xfx0 表示fx在区间x0，x0x或x0x，x0上的平xx

均变化率，所以fx0表示fx在x0处的变化率。即：在x0处当自变量有相同的微小改变时，导数越大的函数，函数值的改变越大。 3 fx0的几何意义：fx0是曲线yfx在点x0，fx0处的切线斜率。 4 st0表示质点在t0时刻的速度。

5 两种方法：（1）利用导数定义。（2）利用fx0fxxx

0

通常在下列3种情况下利用导数定义求函数在一点的导数：

（1）求分段函数在分段点的导数

（2）只知抽象函数在一点的信息，求此抽象函数在该点的导数（3）利用fx0fxxx可求，但比较麻烦或比较困难，而用导数定

0

义比较容易

通常在下列情况下利用fx0fxxx求函数在一点的导数：

0

fx的导函数存在，且可以通过求导公式及求导法则可求出其导函。



6 此做法是错误的。因为y不仅与ysinx在x的函数值有关，

4

4

而且与



正确做法为：yysinx在U的函数值有关。sinx

44



4

cos



4



x

2

2

7 fx在x0处可导必有fx在x0处连续；反之，fx在x0处连续，却不

一定有fx在x0处可导。

8 fx在x0点不可导，曲线yfx在点x0，fx0处不一定无切线。

0有垂直于x轴例：函数yx在x0处不可导，但曲线yx在点0，

1

3

13

的切线。

9 fx与gx的四则运算求导法则成立的前提是：fx 、gx都存在。 10 当xfy在区间Iy内单调、可导且fy0时，它的反函数yf1x

在区间

Ixxxfy，yIy内也可导，且f1x

11

。 fyff1x



11 设yfgx的外层函数为yfu，里层函数为ugx，则复合函

数的求导法则是yfuugxgx。

使用该法则需注意：1。正确选择复合函数的外层函数及里层函数。

2。正确理解fgx、fgx、fgx的含义。 12 由初等函数定义知：当我们研究出基本初等函数求导公式、函数的

四则运算求导公式及复合函数求导公式后，初等函数的求导问题就已经解决了。但是初等函数在其定义域内并不是每一点都可导。

，但它在x0点处不可导。例：函数yx，定义域为，

1

3

13 一般来说，求fx的高阶导要视所求的阶数选定方法。

当求导的阶数不高时（如求2、3、4、5阶导），通常选用先求一

阶、再求二阶，这种一阶一阶向上求，直至求到所求阶导数的方法。当求导的阶数较高时（超过5、6阶），通常选用从求一阶导数开

始，依次求至5或6阶导数，从中寻找规律，从而得到函数的求高阶导公式（通常用数学归纳法证明其正确性）。因而求sin4时用如下方法：

cosx，ysinx， y（sinx）（cosx）

（4）

sinx。 cosx，y（cosx）y（sinx）

所以 y（4）y（4）xsin0 求sin100时用如下方法：



cosxsiny（sinx）（x）ysinxcosxsinx2

2222







ysin（x2）cos（x2）sin（x3） 222

y

（4）





sin（x3）cos（x3）sin（x4）222 



（n）

ysin（xn）2



）

所以 sin（100（）sin（100）0



2

14 yfxgx求较高阶导数用莱布尼茨求高阶导数公式

uv

n

knkkCnuv。 k0

n

在使用公式过程中，通常选求几阶导数后先成为零函数的函数为v。就本题而言选vx2，usin2x比较好。

v2x，v2，vvk0

k3

u2sin2x，u22sin2x2，，un2nsin2xn

222

x

2

sin2x



100

012

C100u100vC100u99vC100u98v

10099982100x2sin2x100100299sin2x992sin2x98

222！2

2100x2sin2x100299cos2x9900297sin2x。

15 方程Fx，y0确定的隐函数yyx求导有两种方法：

1 从方程中将隐函数yyx求解出来（即隐函数显化），求y。但隐函数不一定总能被显化或显化不容易，因而这种方法不是通用方法。 2 将隐函数yyx代入方程后，方程两端同时对x求导。

使用此种方法时需注意：虽然将yyx代入了方程，但我们仍然用y来表示yx。因而方程两端同时对x求导时，遇见含有y的项要注意y是x的函数，即：yyx。 16 幂指函数求导通常有两种方法：

（1）对数求导法：设yuxvx，两端取对数得方程：lnyvxlnux

方程对x求导得

vuyvu

vlnuvlnu，因而yuv

uyu

（2）指数求导法：设yuxvx，将y化成指数函数yevlnu，则

vu

yevlnuvlnuuvvlnu。

u

17 参数方程

xt，dyt确定函数yyx求一阶导公式，

dxtyt，

d2ydt1

求二阶导公式 2t。 dttdx

参数方程求二阶导时，由于yyx的一阶导是用参数t表示的，因而在求其二阶导时，要将yx视为以函数。

18 设yfx在某Ux0内有定义，如果自变量x有微小的改变量x变到

x0xUx0时，相应的函数的增量yfx0xfx0可表示为

t为外层函数，ttx为里层函数的复合

t

yAxx，其中A是不依赖于x的常数，则称Ax为函数yfx

在点x0处的微分。且 dyxxfx0dx，dydfxfxdx

0

19 函数yfx在x0处可微函数yfx在x0处可导。

20 dyxxfx0dx在几何上表示：当自变量x在x0处有微小增量x时，曲

0

线yfx在点x0，fx0处的切线上相应的纵坐标的增量。

第三章微分中值定理与导数的应用

1．中值定理的重要作用是什么？

答：微分中值定理是微分学的理论基础，它是联系函数的局部性质与整体性质的“桥梁”。利用导数来研究函数，利用函数的局部性质去推断函数的整体性质，应用中值定理往往能使许多问题迎刃而解。由微分中值定理

所得出的一系列重要结论，可以解决有关函数的单调性、极值、最大值与最小值、证明不等式、求极限、求曲线的凹凸区间与拐点，以及函数作图、方程求根等许多问题。

2．如何利用中值定理证明数学命题？

答：利用中值定理证明相关的数学命题，这一部分是微分学中非常重要，又有一定难度的内容。利用中值定理证明相关命题，关键是根据题目的特点，寻找合适的定理及相应的辅助函数（这是难点所在！）。一般来说，寻找辅助函数一是从几何直观入手引进辅助函数；另一方法便是从结论入手，进行逆推，寻找所需的辅助函数，这是初学者应重点掌握的方法。虽说辅助函数没有一个固定的寻找方法，但只要我们从所证结论的特点出发，仔细推敲，对于一些比较简单的问题，还是可以找出来的。 3．应用拉格朗日中值定理有什么规律吗？

答：拉格朗日中值定理是微分学中最重要的基本定理，它有广泛的应用。拉格朗日中值定理应用的一种典型模式：函数f的某种性质函数某种差值的性质拉格朗日定理函数的导数的某种性质。

应该强调指出的是函数的许多性质都可以用某种差值的性质来表示，因此这种情形便给应用拉格朗日定理提供了一定的条件。 4．怎样应用微分法证明函数恒等式？

答：主要是利用拉格朗日定理的推论：如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一个常数。

一般来说，欲证二函数之间的一般恒等式f(x)g(x)(xI)，可换成一函数与零之间的特殊恒等式F(x)0(xI). 第一步：证F(x)0(xI)，根据

推论得F(x)C

(xI)；第二步：取一适当的值x0I，使求得F(x0)0；合并此两步即得F(x)0

(xI)，从而得f(x)g(x)(xI).

5．应用洛比达法则求极限时，需注意什么问题？

答：应用洛比达法则可以较简便的求出许多未定式的极限，要做到正确使用洛比达法则，需注意以下问题：

1）直接应用洛比达法则的情形是0与型。如果运用洛比达法则后仍

0



是0或型未定式，可继续应用洛比达法则，直到不再出现未定式为止。

0



2）间接应用洛比达法则的情形是：0、、00、1、0等类型。前两种类型是通过代数变形化为0或型，再应用洛比达法则；后三种类型

0



可以通过取对数先化成0型，再进一步化成0或型。

0



3）要注意验证使用法则的条件，防止对非未定式使用法则。 4）单纯应用洛比达法则可能导致繁杂的计算，而注意把求极限的多种方法综合运用（如等价无穷小代换、两个重要极限、变量替换等），并利用极限运算法则及时化简非零因子，可使计算简捷。

5）数列极限不能直接应用该法则，可先求对应的函数极限，再根据函数极限与数列极限的关系，得到数列的极限。

6）当导数之比的极限不存在也不为时，或求导后发生循环时，须另寻它法。

最后指出，洛比达法则用于求未定式极限虽然有效，但也不是万能的。有时，尽管使用洛比达法则能求出极限，然而花费的代价却是很大。因此，

在选择求极限的方法时，应避免盲目性，增强灵活性。 6．如何判别函数的单调性？

答：判别函数的单调性，主要利用下面的定理：设函数yf(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导。

（1）如果在(a, b)内f(x)0，那么函数yf(x)在[a, b]上单调增加；（2）如果在(a, b)内f(x)0，那么函数yf(x)在[a, b]上单调减少。若条件改为当x(a, b)时，f(x)0，且f(x)0的点不构成区间，结论仍成立。

根据上面的结论，判别函数的单调性，主要考察导函数f(x)的符号即可。具体来说

① 确定函数yf(x)的定义域；

② 求出使f(x)0的点根及使f(x)不存在的点；

③ 用②中的点将函数f(x)的定义域分成若干个部分区间，由f(x)在这些部分区间内的符号判断f(x)在相应区间上的单调性。 7．如何求连续曲线yf(x)的拐点？答：设yf(x)在区间I上连续。 ① 求出函数的二阶导数f(x)；

② 令f(x)0,解出这方程在区间I内的实根,并求出在区间I内f(x)不存在的点.

③ 对于②中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点x0，检查f(x)在x0左、右两侧邻近的符号；当两侧的符号相反时，点(x0, f(x0))是拐点；当两侧的符号相同时，点(x0, f(x0))不是拐点。

用高阶导数判别拐点的命题：

设f(x)在x0点有n阶导数, 且f(x0)f(x0)f(n1)(x0)0, 而f(n)(x0)

0, 则

（1）当n为奇数时，(x0, f(x0))为曲线yf(x)的拐点；（2）当n为偶数时，(x0, f(x0))不是曲线yf(x)的拐点。 8．怎样应用微分法证明函数不等式？常用的方法有哪些？

答：应用微分法可确定函数的单调性、极值、凹凸性以及函数差值的变化规律，这些都可能与函数不等式有密切关系。故利用这些特性可证明一系列不等式。而构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的特性是证明的主要步骤；从不等式出发，用倒推的方法探求所需的函数，则是辅助函数的主要构造方法。常用的方法有： ① 利用微分中值定理证明不等式； ② 利用函数的单调性证明不等式； ③ 利用函数的最值证明不等式； ④ 利用函数的凹凸性证明不等式； ⑤ 利用泰勒公式证明不等式。

9．函数的极值与最值有什么区别与联系？这种联系有什么意义？答：函数的极大值与极小值统称为极值，而使函数取极大值或极小值的自变量的值称为极大值点或极小值点。函数的极大值或极小值是函数在该极值点上的函数值与在此点足够小邻域内（该点左右两侧）的函数值相比而言的。函数的极值概念是一个局部性的概念。函数的最小值与最大值统称为最值，使函数取得最值的点称为最值点，函数的最大值或最小值是

函数在该最值点上的值与函数在整个（所关心的）定义区间上的一切函数值相比较而言的，函数的最值是一个整体性的概念。函数的最值点既可以是函数的定义区间的内点也可以是函数的定义区间的边界点。以上所述，就是函数极值与最值的区别。两者的联系是，当最值点是函数的定义区间内的点时，它同时也是极值点。由此我们得出利用极值点求最值点的如下结论：设函数f(x)在区间[a, b]上存在最大值与最小值，且在[a, b]内部一切极值点为x1, x2, , xm，则最大值点与最小值点必在x1, x2, , xm, a, b之中。 10．求函数极值的一般步骤是什么？

答：① 求函数的所有可能极值点——驻点及导数不存在但函数有定义的点；

② 逐个判别。判别的方法一般有两种，一是利用第一充分条件，求出

f(x)，并把它分解因式，按可能极值点邻近f(x)的符号判别（如果可能极

值点较多可列表讨论）；二是利用第二充分条件，即如果是驻点可用二阶导数在该点处的正负判别。

③ 计算极值点处的函数值，即可求出函数的极值。 11．求函数最值的一般步骤是什么？

答：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，则它在[a, b]上存在最大值和最小值。

求连续函数f(x)在[a, b]上最大值和最小值的一般方法是：计算f(x)在其驻点、导数不存在的点及端点处的函数值，并加以比较选取最大者即为

f(x)的最大值，选取最小者即为f(x)的最小值。

在特殊情况下求最大值和最小值有下列简便方法：

① 若f(x)在[a, b]上单调增加，则f(b)为最大值，f(a)为最小值；若f(x)在[a, b]上单调减少，则f(a)为最大值，f(b)为最小值。

② 若f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内有唯一的极值点x0，当x0为极大（小）值点时，x0也是f(x)的最大（小）值点。

③ 如果由实际问题列出的函数f(x)在(a, b)内可微，在(a, b)内只有一个驻点，又由实际问题判断出函数f(x)在(a, b)内某一点处必定取得最大值（或最小值），则这个驻点处的函数值一定是所要求的最大值（或最小值）。 12．怎样应用极限方法确定方程的根？

答：在高等数学中，我们限定在实数范围内研究问题，关于方程也不例外，所以这里提到的“根”都是指“实根”。在高等数学中确定方程根的方法，常用的有：

利用连续函数的介值定理（常用零点定理）或罗尔（Rolle）定理、费尔马（Fermat）定理讨论方程f(x)0实根的存在性；利用函数f(x)的（严格）单调性或反证法（通常利用罗尔定理或拉格朗日中值定理导出矛盾）证明方程f(x)0最多只有一个实根；利用导数研究函数f(x)的特性（如单调性，极值和最值以及函数的变化趋势），借以分析函数

f(x)的图形与x轴的相对

位置，由此确定方程f(x)0实根的个数与位置；这类问题从某种意义上讲，相当于一个函数作图问题。

13．利用导数描绘函数图形的一般步骤是什么？

答：① 确定函数yf(x)的定义域及函数所具有的某些特性（如奇偶性、周期性等），并求出函数的一阶导数f(x)和二阶导数f(x)；

② 求出一阶导数f(x)和二阶导数f(x)在函数定义域内的全部零点，并

求出函数f(x)的间断点及f(x)和f(x)不存在的点，用这些点把函数的定义域划分成几个部分区间；

③ 确定在这些部分区间内f(x)和f(x)的符号，并由此确定函数图形的升降和凹凸，极值点和拐点；（可列表讨论）

④ 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势；

⑤ 算出f(x)和f(x)的零点以及不存在的点所对应的函数值，定出图形上相应的点；为了把图形描绘的准确些，有时还需要补充一些点（如与坐标轴的交点）；然后结合第③、④步中得到的结果，联结这些点画出函数

yf(x)的图形。

参考文献

[1] 同济大学应用数学系主编. 高等数学. 第五版. 北京: 高等教育出版社, 2002.

[2] 向熙廷主编. 高等数学疑难精解. 湖南: 湖南科学技术出版社, 1992.12.

第四章不定积分问答

1．原函数是否必为连续函数？

答：若F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数，则F(x)在区间[a,b]必连续。因为：在区间[a,b]上，F(x)f(x)，即F(x)在[a,b]上可导，故它在[a,b]上必连续。

2．若f(x)在区间I上不连续，问f(x)在I上必无原函数吗？答：不一定。

3．f(x)的任何两个原函数相差一个常数，对吗？

答：f(x)的任何两个原函数不一定相差一个常数。如果f(x)是定义在一个以上的分离的区间上，f(x)的两个原函数就不一定相差一个常数。 4．积分为什么比微分难学？答：由于

d

f(x)dxf(x); df(x)dxf(x) dx;

dx

d

dx [F(x) ]dx F(x)C; dF(x)dxF(x) C

我们依可认为积分是微分的逆运算。正如减法难于加法，除法难于乘法，开方难于乘方一样，逆运算难于正运算，因此积分比微分难学。

求导对初等函数是封闭的，但积分对初等函数不封闭。因为，有些初等函数的原函数不再是初等函数，即这种函数不能用初等函数的有限次运算形式来表示。

以下列举部分原函数不是初等函数的例子：（所谓积不出来的不定积分）

11sinxcosxdxx222

edx,sinxdx,cosxdx,sindx,cosdx,dx,dx,xxxxlnx

5.常用凑微分公式有哪些？答：常用凑微分公式有：

11

d(axb) ; (2) xdxd(x2)a2dxdx1(3) 2dx ; (4) 2d()

xxx

dx

(5) dlnx ; (6) exdxdex

x

(7) sinxdxdcosx ; (8) cosxdxdsinx(1) dx

dxdx

(9) 2-dcotx ; (10) 2dtanx

sinxcosx

11

(11) sinxcosxdxdsin2x (12) sinxcosxdxdcos2x

22

(13)secxtanxdxdsecx (14)cscxcotxdxdcscxdxdx

darctanx (16)darcsinx221x1xdxdx

(17)dln(xa2x2) (18)dln(xx2a2)

a2x2x2a2(15)

6．在运用不定积分换元法时，应特别注意的几点是什么？

答：（1）在使用不定积分换元法时，应注意被积函数的定义区间。如果被积函数的定义区间不止一个，应求出它在所有区间上的不定积分。如：xx21

dx

被积函数的定义域为(,1)(1,)。应求出它在所有区间上的不定积分。设x (t0),则dx 当x1 (t0)时, 

dxxx21



tt1t2

dt

1

dtarcsintCarcsinC

xt1t2

t

1

t

1

dt 2t

当x1 (t0)时, 

dxxx21



tt1t2

dxx21

dt

1

dtarcsintCarcsinC

xt1t2

1

C那是不正确的，因为当x1时，x

t

注意：如果只写出

x

arcsin

dx1

arcsinC并不是被积函数的原函数。 2xxx1

（2）在对被积函数进行变形或变量代换的过程中，应注意根式运算的定义。

（3）同一不定积分，往往存在着多种换元方法，所得结果形式上可能不一致，但实际上仅差一个常数。 7．分部积分法的分部原则是什么？

答：在分部积分法公式f(x)dxu(x)v(x)dxu(x)v(x)v(x)u(x)dx中（1）是将f(x)dx“看成”u(x)v(x)dx，其原则是使

a.f(x)dxu(x)v(x)dx；

(1)

(2)

b.(2)中第一部分积分v(x)dx易于积出；

c．（2）中第二部分积分v(x)u(x)dx较f(x)dx更简便，或者至少不比

f(x)dx难于积分。为达此目的多数是使u(x)求导后的u(x)得以化简，或不

比u(x)更繁。

8．在分部积分公式uvdxuvuvdx 或 udvuvvdu中u与v的选取是关键。选取的一般原则是什么？

答：（1）被积函数为p(x)lnx,p(x)arcsinx,p(x)arctanx等形式时，其中p(x)为x的多项式。一般来说分别选取ulnx,uarcsinx,uarctanx等。

（2）被积函数为p(x)eax,p(x)sinx等形式时，一般来说选取up(x)。（3）被积函数为eaxsinbx,eaxcosbx等形式时，u可以取其中两因子中的任意一个。在这里必须指出，经过一次分部积分之后，并没有把积分难易程度转化，只改变被积函数的类型，这时需再一次施以分部积分，将会出现“自身循环”，移项解出即可。但是必须注意：前后两次施以分部积分时，两次选取的u为同一类型。

9．有理函数的积分法要点是什么？：

答：（1）若是假分式，先作多项式除法，使之变为：多项式+真分式。当遇到简单

情况时，可以通过加某数、减某数的方法作除法。

例如：x21x24(x24)415

x241x24

（2）对真分式进行分项，使之变为一次分式和二次分式的代数和。（3）积分

MxN

x2

pxq

dx可以通过分母配方的方法积出。 10．简单无理函数的积分法要点是什么？答：被积函数含naxb或n

a1xb1时都可设它为t,即tnaxb或tna1xb1

axb，作换

22a2xb2

元计算。这一方法可以推广到其它函数上去。

第五章定积分问答

一、定积分的几何意义是什么？

答：在a,b上，当f(x)0时，定积分b

af(x)dx表示以曲线yf(x)为曲边，

x轴及两条直线xa，xb所围成的曲边梯形的面积A。

在a,b上，当f(x)0时，定积分b

a

f(x)dx表示以曲线y

f(x)为曲边，

x轴及两条直线xa，xb所围成的曲边梯形的面积A的相反数A。

在a,b上，当f(x)有正有负时，曲线yf(x)与x轴围成若干个曲边梯形，则定积分b

af(x)dx表示在x轴上方的曲边梯形的面积之和减去在x轴下

方的曲边梯形的面积之和。二、积分的物理意义是什么？

答：当v(t)0时，定积分T2

T1v(t)dt表示以变速vv(t)作直线运动的物体从时

刻tT1到时刻tT2所经过的路程S。三、定积分定义的理解要注意什么？

答：要注意以下几点：

1.定义中和式极限的存在性和极限值只与积分区间a,b和被积函数f(x)有关，而与区间a,b的分法无关，还与i在xi1,xi上的取法也无关，即定积分是一个数，它取决于被积函数和积分区间。

2.由于分割的任意性，max1,2,n,0与n不等价，n表示积分区间被划分成的小区间的个数，即表示积分区间a,b被任意划分为n个小区间xi1,xi，i1,2,,n，且x0a,xnb，而是这n个小区间中长度最大的区间的长度，故

0n

但反之不真，即n不能得出0的结论，n不能保证使整个区间无限细分。

baba

a,,b无限例如：可以让a,b的第一个小区间为，然后再将区间



2



2



分割。此时，n，但是此时

ba

并不趋近于0． 2

若规定将a,b等分，则0n．

3.定积分是在被积函数有界、积分区间有限的前提下讨论的。如果没有这样的前提，那么和式的极限一定不存在，即这两个前提实际上是定积分存在的必要条件。

四、可积的两个充分条件是什么：答：可积的两个充分条件为：

（1）设f(x)在区间a,b上连续，则f(x)在a,b上可积。（2）设f(x)在区间a,b上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在

a,b上可积。

五、积分中值定理的几何意义是什么？

答：在区间a,b上至少存在一点，使得以区间a,b为底边，以曲线yf(x)为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边的而高为f()的一个矩形的面积．六、使用牛顿—莱布尼兹公式的前提条件是什么？答：第一，被积函数在积分区间内必须连续。

第二，公式中的函数F(x)必须是被积函数f(x)在积分区间a,b上的原函数。

如果忽略了这两点，将出现错误的结果。

七、积分中值定理与微分中值定理及牛顿—莱布尼兹公式有什么关系？答：关系如下：

莱布尼兹公式

牛顿

b

F(b)F(a)f(x)dx

a

F(b)F(a)F()(ba)

微分中值定理

F()(ba)f(x)dxa

积分中值定理

b

（其中

F(x)f(x)

八、定积分的计算有哪几种常用的方法？

答：常用的有三种方法：牛顿—莱布尼兹公式，换元积分法和分部积分法．对应的不定积分用什么方法，定积分也相应的用什么方法．九、使用换元法计算定积分时应该注意那些问题? 答：定积分的换元积分法为:

设f(x)在a,b上连续，函数x(t)满足条件：（1）()a，()b；

（2）(t)在,（或,）上具有连续导数，且其值域Ra,b，则有

af(x)dxf(t)(t)dt

使用该换元法时必须注意：

第一，积分变量改变，积分限也要作相应的改变，且()a，()b即换

元必换限，不换元就不换限。

第二，求出f(t)(t)的一个原函数(t)后,不必像计算不定积分那样还要把

(t)变换成原来变量x的函数,而只要把新变量t的上、下限分别代入

b

(t)中然后相减即可.

第三，换元公式也可以反过来使用. 十、反常积分



dx

2

1x

的几何意义是什么?

11x

2

答：这个反常积分值是位于曲线的下方，x轴上方的图形的面积．

十一、定积分的对称性质适用于反常积分吗？答：定积分的对称性质不适用反常积分．见下例．

判断下列命题是否正确：

1. 由于被积函数为奇函数，积分区间为对称区间，因此，





x1x

2

dx0

1

1

2. 由于被积函数为奇函数，积分区间为对称区间，因此，1dx0

x

由反常积分的定义可知





x1x

2

dx

0

x1x

2



dx

0



x1x

2

dx

lim

aa



0

x1x

2

dx＋lim

b0



b

x1x

2

dx

10x)2

a



不难得知，lim

0

aa

0

x1x

2

dxlim(1

a



x1x

2

故

x1x

2

dx不存在．由反常积分的定义可知



dx发散．所以

命题１不正确．由于lim

0

111

，可知dx也为反常积分．由其定义可知： 1xx0x

111dxlim()1 ＝1x

xx0x1

0

即反常积分1dx发散，所以反常积分1dx发散．所以命题2不正确．

第六章定积分的应用问答题

1．用定积分解决一些几何问题和物理问题的方法称为什么方法？ 2．用定积分解决的几何问题有哪几种？ 3．用定积分解决的物理问题有哪几种？

4．用定积分求解旋转体的体积时，积分变量应怎样选取？

5．平面曲线的常用表示方法有几种形式？其对应的求弧长公式是什么？ 6．变力作功问题一般将dx看作什么？吸水作功将dx看作什么？ 7．水压力问题将dx看作什么？

8．用定积分解决的平面上引力问题（相对于解决其它物理问题）应当特别注意的问题是什么？

第七章微分方程问答

一、本章有几个基本问题？解决每一问题的关键或核心是什么？

0

1x

1

1x

答：本章涉及三个基本问题，即求解微分方程、建立微分方程、微分方程的一些主要基本概念（含解的结构理论）。

1. 关于求解微分方程，对于一阶微分方程和可降阶的高阶微分方程其关键是判断方程的类型。因为每一类型方程的解法固定，类型判定清楚之后，按其固有解法自然可求解。对于二阶常系数微分方程的求解，关键在于牢记齐次方程的通解结构及非齐次方程特解形式。

2. 建立微分方程的核心问题是掌握建立方程的方法，微分方程的建立从总体上讲有两条途径，其一利用已知的概念、定理、物理学定律等建立方程；其二是微小量分析的方法来建立方程。

第三个基本问题显然是前两个基本问题的基础，此问题的关键是掌握各概念间的区别与联系（例如微分方程的通解、特解、解之间的关系？）。二、何判定一阶微分方程的类型？各类型的解法是什么？

答：首先掌握各类方程的特点，只有这样才有可能根据特点进行判定。 1. 可分离变量方程的显著特点是具有“分离、对称”的形式，即可化为

g(y)dyf(x)dx 形式的方程。“对称”是指等号的两端具有相同的形式：某一变量的函数与该变量微分之积，“分离”是指两变量分开置于等号的两侧。其解法是两边同时积分，即

g(y)dyf(x)dx。

2. 齐次方程的特点是方程中含x,y项的乘幂相等，即“齐次”的意思。例如方程中含有一项x2y，那么如果该方程是齐次方程，则其它各项中x与y乘积的幂也一定是3次的。对于可化为

dyy dxx

形式的方程。其解法是：设

u

y

x

，则yxu，dyuxdu

dx

dx

然后代入方程中即化为可分离变量方程求解。 3. 全微分方程，其特点是将方程整理为

P(x,y)dxQ(x,y)dy0 的形式后，有

QxP

y

其典型解法是对全微分方程

P(x,y)dxQ(x,y)dy0

利用线积分来求解。即令一函数u(x,y)，且使

du(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy

则

u(x,y)C

就是通解。其中

u(x,y)

(x,y)(x(x,y)dxQ(x,y)dy

0,y0)

PxxP(x,yyQ(x,y)dy

0

0)dxy0

一阶线性微分方程与伯努利方程，这两种方程的联系比较紧密，首先在形式上：

dydx

P(x)yQ(x)

dy

P(x)yQ(x)yndx

(n0,1) 二者相似；其次在解法上伯努利方程

dy

P(x)yQ(x)yn (n0,1) dx

依赖于一阶线性微分方程，是通过变量代换

zy1n

将方程化为一阶线性微分方程

dz

(1n)P(x)z(1n)Q(x) dx

来进行求解。而一阶线性微分方程

dy

P(x)yQ(x) dx

的求解，利用其求解公式，可得如下的通解：

P(x)dxP(x)dxyedxC。 Q(x)e





三、阶微分方程，根据其特点判断时出现困难，应怎样处理？答：一般说来，微分方程类型的判定应按以下的过程进行判定：先按x为自变量、y为未知函数来整理，即先整理成形如：

dyy

 dxx

dy

P(x)yQ(x) dx

dy

P(x)yQ(x)yn (n0,1) dx

来求解。其次，若得不到标准类型；再按y为自变量、x为未知函数来整理成如下类型：

xdx

y dy

dx

P(y)xQ(y) dy

dx

P(y)xQ(y)xn (n0,1) dy

进行求解。

当然，这两步主要是针对一阶线性微分方程与伯努利方程及齐次方程而言的，而对于可分离变量方程、全微分方程则不存在上述问题。

最后，如若还是得不到标准类型，则须运用适当的变量代换将方程转化为可解方程的类型之一，再行求解。四、什么情形下建立微分方程？

答：建立微分方程来解决实际问题时，应注意以下特征

1.在几何方面，如出现斜率、曲率、变化的弧长、面积、体积等情况时常需要建立微分方程进行求解。

2.在物理方面，当出现运动规律的问题（如物体受变力运动、或已知速度等）需微分方程处理。

3.其它的领域或方面，一但出现某个量U，随另一个量s连续变化时，则可建立关于U,s的微分方程。即形如 f(U,U,s)0 或

f(U,U,U,s)0 的一阶、二阶等方程。

五、立微分方程的主要步骤是什么？答：一般来看，微分方程的建立应遵循以下步骤

1.根据题意设定变量U、s；其中量U是量s的连续函数（当量U是离散的，但取值数量很大时，也可以认为是连续的）

2.分析量U、s满足的规律。

d2UdU

3.根据规律可利用变化率(对于二阶方程需利用2)，或通过对微量

dsds

dU、ds的分析，建立关于U,s的微分方程。

4.写出初始条件。

六、认识微分方程的一些其它解法？

答：在同济大学编高等数学第五版微分方程一章中，或一些参考资料中，给出了微分方程的一些其它解法。如常数变易法、幂级数的解法、利用积分因子解方程、利用不定积分、全微分等方法来求解微分方程。在这些方法中，常数变易法，是一种基本方法，在学习时必须掌握其思想。至于其它方法由于都是主要方法衍生出来的，因此只需一般性的了解。特别是有些方法如利用积分因子、全微分等方法时，所需的技巧一般来说很高，运用是有一定难度的。

七、解方程时，经常遇到同一个方程，同时属于两个或两个以上类型，此时应按何种类型求解？

答：解方程时，特别是解一次方程，确实经常遇到此情况，此时除个人习惯外，一般应按下列次序由前向后选取解题方法：可分离变量方程、一阶线性方程、全微分方程、贝努立方程、齐次方程。八、如何求解高阶微分方程？

答：对于高阶微分方程的以下几种形式：可降阶方程、二阶常系数齐次微分方程、二阶常系数非齐次微分方程、n阶微分方程等四种方程。求解时首先还是判定类型，与一阶方程不同，高阶微分方程的类型判定很简单，极少涉及到通过变量替换的方法（可降阶方程除外）、互换原方程未知函数 y

与自变量 x 的位置等方法实现判定。因此牢记其形式即可；其次对于可降阶方程，应利用固定的变量替换形式，即可化为一阶可解方程；而二阶常

n阶微分方程等三种方程，系数齐次微分方程、二阶常系数非齐次微分方程、

只需运用通解、特解公式将其求出即可.

本文来源：https://www.wddqw.com/doc/1d00be60cb50ad02de80d4d8d15abe23482f039a.html

相关文章：

正在阅读：

第一章函数与极限问答题01-01

介绍小蜜蜂一年级作文01-01

作文素材：河南加油,全国挺你!感谢每一位守望相助的平凡英雄!01-01

最新大学生日本留学流程日本留学申请条件有哪些01-01

立方米水等于多少升立方换算方式大揭秘01-01

小发明创意金点子征集表01-01

统编版小学语文五年级下册期末测试卷及答案01-01

十二经络快速记忆法01-01

经典电影台词串词01-01

上一篇：写作手法下一篇：描写春节的诗句合集

第一章 函数与极限问答题

第一章函数与极限问答题