小学奥数 4-5-1 长方体与正方体(一).教师版
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长方体与正方体（一） 对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查． 例题精讲 如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱． HGEDFCcbAaB ①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：S长方体2(abbcca)； 长方体的体积：V长方体abc． ③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a，那么：S正方体6a2，V正方体a3． 板块一 长方体与正方体的表面积 【例 1】 右图中共有多少个面？多少条棱？ 后面上面左面前面下面右面 【考点】长方体与正方体 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 如右图所示，可以分前、后、左、右、上、下六个方向看这个立体图形．前、后看各有1个面，左面看有1个面，右面看有2个面，上面看有2个面，下面看有1个面．所以共有1112218(个)面．前后方向的棱有6条，左右方向的棱有6条，上下方向的棱也有6条，所以共有棱66618(条)． 【答案】8个面，18条棱 【巩固】右图中共有多少个面？多少条棱？ 4-5-1.长方体与正方体（一） 题库 page 1 of 29 【考点】长方体与正方体 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 9个面，21条棱． 【答案】9个面，21条棱 【例 2】 如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？ 【考点】长方体与正方体 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 我们从三个方向(前后、左右、上下)考虑，新几何体的表面积仍为原立方体的表面积：10106600． 【答案】600 【巩固】在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？ 【考点】长方体与正方体 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后3个方向考虑．变化前后的表面积不变：5050615000(平方厘米)． 【答案】15000 【例 3】 如右图，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了多少? 【考点】长方体与正方体 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 原来正方体的表面积为556150．现在立体图形的表面积减少了前后两个面中的部分面，它们的面积为(32)212，所以减少的面积就是12． 【答案】12 【例 4】 如图，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了百分之几? 【考点】长方体与正方体 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】奥林匹克，初赛，10题 4-5-1.长方体与正方体（一） 题库 page 2 of 29 【解析】 原来正方体的表面积为5 ×5×6=150，现在立体图形的表面积截了两个面向我们的侧面，它们的面积为(3×2)×2=12，12÷150=0.08=8％．即表面积减少了百分之八． 【答案】百分之八 【例 5】 右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体） 【考点】长方体与正方体 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 原正方体的表面积是44696(平方厘米)．每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分．总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形． 从而，它的表面积是：9646120平方厘米． 【答案】120 【例 6】 如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？ 【考点】长方体与正方体 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 大立方体的表面积是202062400平方厘米．在角上挖掉一个小正方体后，外面少了3个面，但里面又多出3个面；在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了2个面，但里面多出4个面；在面上挖掉一个小正方体后，外面少了1个面，但里面多出5个面．所以，最后的情况是挖掉了三个小正方体，反而多出了6个面，可以计算出每个面的面积：(24542400)69平方厘米，说明小正方体的棱长是3厘米． 【答案】3 【例 7】 下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体1小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法24-5-1.长方体与正方体（一） 题库 page 3 of 29 和前两个相同为1厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？ 4 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 我们仍然从3个方向考虑．平行于上下表面的各面面积之和：2228(平方厘米)；左右方向、前1141(平方厘米)，后方向：22416(平方厘米)，1144(平方厘米)，22111114(平方厘米)，这个立体图形的表面积为：8164129(平方厘米). 444441【答案】29 4 【例 8】 从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案) 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】小学生数学报 【解析】 按图1所示沿一条棱挖，为592平方厘米； 按图2所示在某一面上挖，为632平方厘米； 按图3所示在某面上斜着挖，为648平方厘米； 按图4所示挖通两个对面，为672平方厘米． 图1 图2 图3 【答案】按图1所示沿一条棱挖，为592平方厘米； 按图2所示在某一面上挖，为632平方厘米； 按图3所示在某面上斜着挖，为648平方厘米； 按图4所示挖通两个对面，为672平方厘米． 图4 图1 图2 图3 图4 【例 9】 一个正方体木块，棱长是15．从它的八个顶点处各截去棱长分别是1、2、3、4、5、6、7、8的小正方体．这个木块剩下部分的表面积最少是多少？ 4-5-1.长方体与正方体（一） 题库 page 4 of 29 【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】迎春杯 【解析】 截去一个小正方体，表面积不变，只有在截去的小正方体的面相重合时，表面积才会减少，所以要使木块剩下部分的表面积尽可能小，应该在同一条棱的两端各截去棱长7与8的小正方体(如图所示)，这时剩下部分的表面积比原正方体的表面积减少最多．剩下部分的表面积最小是： 151567721252．想想为什么不是151567788 ？ 【答案】1252 【例 10】 从一个长8厘米、宽7厘米、高6厘米的长方体中截下一个最大的正方体(如下图)，剩下部分的表面积之和是 平方厘米． 86667 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 可以将这个图形看作一个八棱柱，表面积和为： （8766）26（16661787）292(平方厘米)． 也可以这样想：由于截去后原来的长方体的表面少了3个66的正方形，而新图形凹进去的部分恰好是3个66的正方形，所以新图形的表面积与原图形的表面积相等，为8786762292(平方厘米)． 【答案】292 【巩固】一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方形，现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少平方厘米？ 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 本题的关键是确定三次切下的正方体的棱长.由于21:15:127:5:4，为了方便起见.我们先考虑长、宽、高分别为7厘米、5厘米、4厘米的长方体.因为754,容易知道第一次切下的正方体棱长应该是4厘米（如图），第二次切时，切下棱长为3厘米的正方体符合要求.第三次切时，切下棱长为2厘米的正方体符合要求. 剩下的体积应是21151212393631107（平方厘米）. 【答案】1107 【例 11】 一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？ 4-5-1.长方体与正方体（一） 题库 page 5 of 29 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数2增加的面数． 原正方体表面积：1166(平方米)，一共锯了(21)(31)(41)6次， 6112618(平方米)． 【答案】18 【巩固】如右图，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米? 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积．现在一共切了(31)(41)(51)9刀，而原正方体一个面的面积1l1(平方米)，所以表面积增加了92118(平方米)．原来正方体的表面积为616(平方米)，所以现在的这些小长方体的表积之和为618=24(平方米)． 【答案】24 【巩固】一个表面积为56cm2的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体表面积的和是 cm2． 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】走美杯，六年级，初赛 【解析】 每一刀增加两个切面，增加的表面积等于与切面平行的两个表面积，所以每个方向切两刀后，表面积增加到原来的3倍，即表面积的和为563168(cm2)． 【答案】168 【例 12】 右图是一个表面被涂上红色的棱长为10厘米的正方体木块，如果把它沿虚线切成8个正方体，这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？ 4-5-1.长方体与正方体（一） 题库 page 6 of 29 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 10106600(平方厘米)． 【答案】600 【例 13】 有n个同样大小的正方体，将它们堆成一个长方体，这个长方体的底面就是原正方体的底面．如果这个长方体的表面积是3096平方厘米，当从这个长方体的顶部拿去一个正方体后，新的长方体的表面积比原长方体的表面积减少144平方厘米，那么n为多少？ 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由于堆成的长方体的底面就是原来正方体的底面，说明这个长方体是由这些正方体一字排开组成的，从这个长方体的顶部拿去一个正方体，减少的面积相当于侧面的四个正方形的面积，所以正方体每个面的面积是144436(平方厘米)． 所堆成的长方体的表面积，包含底面的2个正方形和侧面的4n个正方形，所以 n(3096362)14421． 【答案】21 【例 14】 边长分别是3、5、8的三个正方体拼在一起，在各种拼法中，表面积最小多少？ 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 三个正方体两两拼接时，最多重合3个正方形面，其中边长为3的正方体与其它两个正方体重合的面积不超过边长为3的正方形，边长为5和边长为8的正方体的重合面面积不超过边长为5的正方形，三个正方形表面积和为6336556882233255502. 【答案】502 【例 15】 如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？ 25块积木 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 当小积木互相重合的面最多时表面积最小. 设想27块边长为1的正方形积木，当拼成一个333的正方体时，表面积最小，现在要去掉2块小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增加，该几何体表面积为54. 【答案】54 【例 16】 由六个棱长为1的小正方体拼成如图所示立体，它的表面积是 ． 4-5-1.长方体与正方体（一） 题库 page 7 of 29 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】走美杯，4年级，决赛，第3题，8分 【解析】 三视图法：表面积为：454226 【答案】26 【例 17】 将15个棱长为1的正方体堆放在桌子上，喷上红色后再将它们分开。涂上红色的部分，面积是（ ）平方厘米 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3年级，初赛，第12题 【解析】 注意底面放在桌子上，不能被染到。从上向下看有10个：从左向右看有6个；从前向后看有7个。因此被染色的面有1067236个面 【答案】36 【例 18】 用6块右图所示(单位：cm)的长方体木块拼成一个大长方体，有许多种拼法，其中表面积最小的是多少平方厘米？最大是多少平方厘米？ 132 【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 要使表面积最小，需重叠的面积最大，如图⑴的拼接方式新的长方体长为5，宽为4，高为3，所以表面积为(343334)266(cm2)；要使表面积最大需重叠的面积最小，如图⑵所示，长为18，宽为2，高为1，所以最大的表面积为(18118212)2112(cm2) (1) (2) 【答案】112 【巩固】用10块长5厘米，宽3厘米，高7厘米的长方体积木堆成一个长方体，这个长方体的表面积最小是多少? 【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 教师可以先提问：这个长方体的表面积最大是多少?为使表面积最大，要尽量保证102个75的面成为表面，想要做到这点很容易，只需将75面做底面，而后将10个长方体连排，衔接的面选用35的面(衔接的面将不能成为表面积)，这样得到的长方体表面积最大． 同样要想最小，可把75面做衔接的面，可得到10个长方体的连排，但此时我们还可以再制造出衔接面，如图：此时增加了2个57的面，减少了10个37的面，总体来讲表面积减少了．表面积是：2(7151510107)650(平方厘米)，所以这就是最小的表面积． 4-5-1.长方体与正方体（一） 题库 page 8 of 29 【答案】650 【例 19】 要把12件同样的长a、宽b、高h的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该如何打包？ ⑴当 b2h时，如何打包？ ⑵当 b2h时，如何打包？ ⑶当 b2h时，如何打包？ 【考点】长方体与正方体 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 图2和图3正面的面积相同，侧面面积正面周长长方体长，所以正面的周长愈大表面积越大，图2的正面周长是8h6b，图3的周长是12h4b.两者的周长之差为2（b2h）. 当b2h时，图2和图3周长相等，可随意打包；当b2h时，按图2打包；当b2h时，按图3打包. ahb图1图2图3 【答案】当b2h时，图2和图3周长相等，可随意打包； 当b2h时，按图2打包； 当b2h时，按图3打包. ahb图1图2图3 【巩固】要把6件同样的长17、宽7、高3的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少？ 【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 考虑所有的包装方法，因为6123，所以一共有两种拼接方式： 4-5-1.长方体与正方体（一） 题库 page 9 of 29 第一种按长宽高116拼接，重叠面有三种选择，共3种包装方法. 第二种按长宽高123拼接，有3个长方体并列方向的重叠面有三种选择，有2个长方体并列方向的重叠面剩下2种选择，一共有6种包装方法. 其中表面积最小的包装方法如图所示，表面积为1034. 【答案】1034 【例 20】 如图，把正方体用两个与它的底面平行的平面切开，分成三个长方体，这三个长方体的表面积比是3：4：5时，用最简单的整数比表示这三个长方体的体积比： ： ： 。 【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】走美杯，初赛，六年级，第11题 【解析】 体积比为3:8:13 【答案】3:8:13 【例 21】 如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积． 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发现：小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面.这样这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分：上下方向：大正方体的两个底面；四周方向(左右、前后方向)：小正方体的四个侧面，大正方体的四个侧面．上下方向：55250(平方分米)；侧面：554100(平方分米)，44464(平方分米)．这个立体图形的表面积为：5010064214(平方分米)． 【答案】214 【巩固】如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？ 4-5-1.长方体与正方体（一） 题库 page 10 of 29 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 该图形从前、后、左、右四面观察到的面积都是12224221平方米，从上面观察到的面积是4216平方米，由于下面不涂油漆，所以涂刷油漆的面积是21416100平方米． 【答案】100 【例 22】 如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是_______平方厘米． 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第7题，5分 【解析】 (法1)四个正方体的表面积之和为：(12223252)6396234(平方厘米)， 重叠部分的面积为：123(22212)(322212)(322212)39141440(平方厘米)， 所以，所得到的多面体的表面积为：23440194(平方厘米)． (法2)三视图法．从前后面观察到的面积为52322238平方厘米,从左右两个面观察到的面积为523234平方厘米，从上下能观察到的面积为5225平方厘米． 表面积为3834252194(平方厘米)． 【答案】194 【例 23】 如图，用若干个体积相同的小正方体堆积成一个大正方体，要使大正方体的对角线（正方体八个顶点中距离最远的两个顶点的连线）穿过的小正方体都是黑色的，其余小正方体都是白色的，并保证大正方体每条边上有偶数个小正方体。当堆积完成后，白色正方体的体积占总体积的93.75%，那么一共用了多少个黑色的小正方体？ 【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第18题，10分 15【解析】 白色正方体的体积占总体积的93.75%，即占整个的，白色正方体与黑色正方体之比为：1：15，16观察可知，每一层黑色正方体有4个，则白色正方体有60个，所以每一层共有64个正方体，则正方体的边长为1，则共有8层，所以一共用了4×8=32个小的黑色的正方体。 4-5-1.长方体与正方体（一） 题库 page 11 of 29 【答案】32 【例 24】 边长为1厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到第5层时，这个立体图形的表面积是多少平方厘米？ 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 这个图形的表面积是俯视面、左视面、正视面得到的图形面积的2倍. 该立体图形的上下、左右、前后方向的表面面积都是15平方厘米，该图形的总表面积为90立方厘米． 【答案】90 【巩固】按照上题的堆法一直堆到N层(N3)，要想使总表面积恰好是一个完全平方数，则N的最小值是多少？ 【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 N(N1)【解析】 每增加一层，每一个“大面”就增加到个小面，总表面积是6个“大面”，所以就增加到23N(N1)个小面，几何题变成数论题，问题转化为“3N(N1)是一个完全平方数，N的最小值是几(N3)？”因为N和N1互质，所以N和N1必须有一个是完全平方数，一个是平方数的3倍，但N1不能是平方数的3倍，因为如果N1是平方数的3倍，设N13n2,N3n21此时N被3除余2，不可能是完全平方数，所以N是平方数的3倍，N1是完全平方数，开始试验： 当N3123，不符合题意； 当N32212，N113，不是完全平方数； 当N33227，N128，不是完全平方数； 当N34248，N149，是完全平方数，所以N的最小值是48，即堆到第48层时，总表面积是完全平方数，为34849842. 【答案】48 【例 25】 把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形的表面积． 【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 从上下、左右、前后观察到的的平面图形如下面三图表示．因此，这个立体图形的表面积为：2个上面2个左面2个前面．上表面的面积为：9平方厘米，左表面的面积为：8平方厘米，前表面的面积为：10平方厘米．因此，这个立体图形的总表面积为：(9810)254(平方厘米)． 4-5-1.长方体与正方体（一） 题库 page 12 of 29 上下面 左右面 前后面 【答案】54 【巩固】用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米? 【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，初赛，第12 题 【解析】 该图形的上、左、前三个方向的表面分别由9、7、7块正方形组成． 该图形的表面积等于(977)246个小正方形的面积，所以该图形表面积为46平方厘米． 【答案】46 【例 26】 现有一个棱长为1厘米的正方体，一个长宽为1厘米高为2厘米的长方体，三个长宽为1厘米高为3厘米的长方体．下列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时，从上面、前面、侧面所看到的图形．试利用下面三个图形把合并成的立体图形(如例)的样子画出来，并求出其表面积． 例： 上侧前上面所看到的图形前面所看到的图形侧面所看到的图形 【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 从前面看到的和从侧面看到的图形都只有3层，说明叠成的图形只有3层． 从上面看到的图形中可以确定2个高为3厘米的长方体的位置，一个水平方向，一个竖直方向，再从前面和侧面的图形可以看出这两个长方体都在第1层；从而可以确定另一个高为3厘米的长方体及其它两个图形的位置，可得立体图形的形状如下图所示． 从上面和下面看到的形状面积都为9平方厘米，共18平方厘米； 4-5-1.长方体与正方体（一） 题库 page 13 of 29 从两个侧面看到的形状面积都为7平方厘米，共14平方厘米； 从前面和后面看到的形状面积都为6平方厘米，共12平方厘米； 隐藏着的面积有2平方厘米． 一共有181412246(平方厘米)． 【答案】46 【例 27】 将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，其中一面都没有红色的小正方形只有3个，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】清华附中，培训题 【解析】 长：3115厘米；宽：1113厘米；高：1113厘米； 所以原长方体的表面积是：（353533）3278平方厘米． 【答案】78 【例 28】 有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色．求被涂成红色的表面积． 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 44(1234)456(平方米)． 【答案】56 【例 29】 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如下图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是________． 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 此几何体不论有多少层，其上、下表面积是固定不变的，为22228， 它的每个侧面的面积应该超过39847.75． 最底层的正方体的单个侧面面积为224，往上依次为2，1，11，，…… 2411前五层正方体的单个侧面面积和为4217.75， 24所以要想超过7.75，至少应该是6个． 【答案】6 【例 30】 如图，这是一个用若干块体积相同的小正方体粘成的模型．把这个模型的表面(包括底面)都涂成红色，那么，把这个模型拆开以后，有三面涂上红色的小正方体比有两面涂上红色的小正方体多______ 块． 4-5-1.长方体与正方体（一） 题库 page 14 of 29 【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 三面涂上红色的小正方体有：425428个，两面涂上红色的小正方体有：341416个， 所以三面涂红色的比两面涂红色的多281612块． 【答案】12 【例 31】 小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图1所示，从上面看如图2，那么这个几何体至少用了 块木块． 图1图2 【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，复赛，9题 【解析】 这道题很多同学认为答案是26块．这是受思维定势的影响,认为图2中每一格都要至少放一块．其实,有些格不放,看起来也是这样的．如下图，带阴影的3块不放时，小正方体块数最少，为23块． 【答案】23块 【例 32】 小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图2所示，从上面看如图3所示，那么这个几何体至少用了 块木块． 图2图3 【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级，初赛，7题 【解析】 这道题很多同学认为答案是31块．这是受思维定势的影响，认为图2中每一格都要至少放一块．其实，有些格不放，看起来也是这样的．如图5，带阴影的5块不放时，小正方体块数最少，为26块． 图5 【答案】26块 4-5-1.长方体与正方体（一） 题库 page 15 of 29 【例 33】 右图是456正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？ 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体； 两面涂红色的在棱长处，共(42)4(52)4(62)436块； 一面涂红的表面中间部分：(42)(52)2(42)(62)2(52)(62)252块． 【答案】52 【例 34】 一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切4刀，沿着高边等距离切n次后，要使各面上均没有红色的小方块为24块，则n的取值是________． 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 沿着长边等距离切5刀，可切为516块；沿着宽边等距离切4刀，可切为415块；沿着高边等距离切n刀，可切为n1块．由题意可知，长方体每一个面的外层是涂有1面(或2面、或3面)的小方块，所以，各面均没有红色的小方块共(62)(52)(n12)12(n1)个，因各面均没有红色的小方块为24块，所以，12(n1)24，解得n3． 【答案】3 【例 35】 棱长是m厘米（m为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是1厘米的小正方体．至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为13:12，此时m的最小值是多少? 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 切割成棱长是1厘米的小正方体共有m3个，由于其中至少有一面是红色的小正方体与没有红色面的个数之比为13:12，而131225，所以小正方体的总数是25的倍数，即m3是25的倍数，那么m是5的倍数． 当m5时，要使得至少有一面的小正方体有65个，可以将原正方体的正面、上面和下面涂色，此时至少一面涂红色的小正方体有5554265个，表面没有红色的小正方体有 1256560个，个数比恰好是13:12，符合题意.因此，m的最小值是5． 【答案】5 【例 36】 有64个边长为1厘米的同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30个为黑色的．现将它们拼成一个444的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？ 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 要使大正方体的表面上白色部分最多，相当于要使大正方体表面上黑色部分最少，那么就要使得黑色小正方体尽量不露出来． 在整个大正方体中，没有露在表面的小正方体有(42)38(个)，用黑色的；在面上但不在边上的小正方体有(42)2624(个)，其中30822个用黑色． 这样，在表面的44696个11的正方形中，有22个是黑色，962274(个)是白色，所以在大正方体的表面上白色部分最多可以是74平方厘米． 【答案】74 【例 37】 一个长方体的长是12厘米，宽10厘米，高也是整厘米数，在它的表面涂满颜色后，截成棱长是1厘米的小正方体，其中一面有色的小正方体有448个．求原来长方体的体积与表面积． 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 先求出长方体的高，再求其体积和表面积．设长方体的高为h厘米，则按题意截成的一面有色的小正方体有1221022122h22h210228836h个，因为一面有色的小正方体有448个，所以，8836h448，解得h10． 4-5-1.长方体与正方体（一） 题库 page 16 of 29 所以，长方体的体积为1210101200立方厘米，表面积为1210121010102680平方厘米． 【答案】体积1200，表面积是680 【例 38】 将一个棱长为整数分米的长方体6个面都涂上红色，然后把它全部切成棱长为1分米的小正方体．在这些小正方体中，6个面都没有涂红色的有12块，仅有两个面涂红色的有28块，仅有一个面涂红色的有 块，原来长方体的体积是 立方分米． 【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 先考虑6个面都没有涂红色的正方体，它们最初是位于原长方体的“芯”（就是去掉长方体各面最外面一层后剩下的小长方体）内的正方体，共有12块，所以12就是这个“芯”的长、宽、高（各比原来长方形的长、宽、高小2）的乘积．而12分拆成3个整数的乘积只有4种情况： 1112 126 134 223； 再看两面涂红的小正方体．两面涂红的小正方体就是最初位于长方体的棱上除了顶角处的那些小正方体，它们的个数和恰好是“芯”的长、宽、高之和的4倍．由于这样的小正方体共有28块，所以“芯”的长、宽、高之和为2847； 符合条件的只有2237，所以“芯”为223的长方体，原来的长方体是445的长方体． 一面涂红的长方体就是最初位于长方体各个面中间部分的长方体，它们的数量为： ， 222323232（个）原来长方体的体积为：44580（立方分米）． 【答案】一面涂色的有32块，长方体的体积是80立方分米 【例 39】 右图是由27块小正方体构成的 333的正方体．如果将其表面涂成红色，则在角上的8个小正方体有三面是红色的，最中央的小方块则一点红色也没有，其余18块小方块中，有12个两面是红的，6个一面是红的．这样两面有红色的小方块的数量是一面有红色的小方块的两倍，三面有红色的小方块的数量是一点红色也没有的小方块的八倍．问：由多少块小正方体构成的正方体，表面涂成红色后会出现相反的情况，即一面有红色的小方块的数量是两面有红色的小方块的两倍，一点红色也没有的小方块是三面有红色的小方块的八倍？ 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 3【解析】 对于由n块小正方体构成的nnn正方体，三面涂有红色的有8块，两面涂有红色的有12（n2）块，一面涂有红色的有6(n2)2块，没有涂色的有(n2)3块．由题设条件，一点红色也没有的小方块是三面涂有红色的小方块的八倍，即(n2)388，解得n6． 【答案】216 【例 40】 有6个相同的棱长分别是3厘米、4厘米、5厘米的长方体，把它们的某些面染上红色，使得有的长方体只有1个面是红色的，有的长方体恰有2个面是红色的，有的长方体恰有3个面是红色的，有的长方体恰有4个面是红色的，有的长方体恰有5个面是红色的，还有一个长方体6个面都是红色的，染色后把所有长方体分割成棱长为1厘米的小正方体．分割完毕后，恰有一面是红色的小正方体最多有多少个？ 【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，决赛，4题 【解析】 一面染红的长方体，显然应将45的长方体染红，这时产生20个一面染成红色的小正方体，个数最多． 二面染红的长方体，显然应将两个45的长方体染红，这时产生40个一面染成红色的小正方体，个数最多． 三面染红的长方体，显然应将45，45，43的面染红，于是产生4(5534)36个一面染成红色的小正方体，其他方法得出的一面染成红色的正方体均少于36个． 4-5-1.长方体与正方体（一） 题库 page 17 of 29 四面染红的长方体，显然应将45，45，43，43的面染红，产生4(553324)32个一面染成红色的正方体，其他方法得到的一面染成红色的小正方体均少于32个． 五面染红的长方体，应只留一个35的面不染，这时就产生 其他染法得到的一面染(32)(52)(41)(553324)27个一面染成红色的小正方体，成红色的小正方体均少于27． 六面染红的长方体，产生2(32)(52)(52)(42)(42)(32)22个一面染成红色的小正方体． 于是最多得到222732364020177个一面染成红色的小正方体． 【答案】177 【例 41】 三个完全一样的长方体，棱长总和是288厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面．涂色后把三个长方体都切成棱长为1厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？ 【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 每个长方体的棱长和是288396厘米，所以，每个长方体长、宽、高的和是96424厘米．因为，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，所以，每个长方体的长、宽、高分别是9厘米、8厘米、7厘米． 要求切割后只有一个面涂色的小正方体最少有多少个，则需每一个长方体按题意涂色时，应让切割后只有一个面涂色的小正方体最少．所以，涂一面的长方体应涂一个87面，有8756个； 涂两面的长方体，若两面不相邻，应涂两个87面，有872112个；若两面相邻，应涂一个87面和一个97面，此时有7892105个，所以涂两面的最少有105个； 涂三面的长方体，若三面不两两相邻，应涂两个87面、一个97面，有78894147个；若三面两两相邻，有718171918191146个，所以涂三面的最少有146个．那么切割后只有一个面涂色的小正方体最少有56105146307个． 【答案】307 【例 42】 有l25个同样大小的正方体木块，木块的每个面的面积均为1平方厘米，其中63个表面涂上白色，还有62个表面涂上蓝色。将这l25个正方体木块粘在一起，形成一个棱长为5厘米大正方体木块。这个大正方体木块的表面上，蓝色的面积最多是 平方厘米。 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第10题 【解析】 8个顶点上的正方体木块表面积是3平方厘米，棱上的正方体木块表面积是2平方厘米，面上的正方体木块表面积是1平方厘米，所以要先在顶点和棱上放蓝色的正方体木块，剩下的放在面上，不放在内部，蓝色的面积最多是3×8+2×（5-2）×12+1×（62-8-36）=114 平方厘米. 【答案】114 【例 43】 有l00个棱长为l厘米的正方体木块，表面均为白色，还有25个棱长为l厘米的正方体木块，表面均为蓝色。将这125个正方体木块粘在一起，形成一个大正方体。大正方体的表面为白色的面积至少是 平方厘米。 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，四年级，初赛，8题 【解析】 将蓝色正方体尽量依次往角上、棱上放，因为这三个位置上的正方体的裸露表面有3、2块。这二个位置上的正方体依次有8、（5-1-1）×12=36个.所以25个正方体在角上放8个，棱上放17个，那么所占的表面积有8×3+17×2=58块.白色面积为150-58=92块，即92平方厘米. 【答案】92 【例 44】 64个同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30个为黑色的。现将它们拼成一个4×4×4的大正方体，在大正方体的表面上白色部分的面积与黑色部分的面积之比最大为 。 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】走美杯，6年级，决赛，第6题，10分 【解析】 没有露在表面的小正方体有(4-2)2=8(个)，用黑色的。在面上但不在边上的小正方体有(4-2)2×6=24(个)，其中22个用黑色。这样，在表面的4×4×6=96(个)小正方形中，22个是黑色，96-22=74(个)4-5-1.长方体与正方体（一） 题库 page 18 of 29 是白色，白色与黑色的面积比为74:2237:ll。 【答案】37:11 【例 45】 将16个相同的小正方形拼成一个体积为16平方厘米的长方体，将表面涂漆，然后分开，结果，其中2面涂漆的小正方体有8个，那么3面涂漆的小正方体有__________个，4面涂漆的小正方体有__________个。 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，复赛，第12题，5分 【解析】 16=1×1×16=1×2×8=1×4×4=2×2×4，其中只有2×2×4的长方体有8个小正方体2面涂漆，它的3面小正方体有8个（8个角），没有4面都涂漆的. 【答案】三面涂漆的有8个，无四面涂漆的 【例 46】 把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其中恰好有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？ 【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 设小正方体的棱长为1，考虑两种不同的情况，一种是长方体的长、宽、高中有一个是1的情况，另一种是长方体的长、宽、高都大于1的情况． 当长方体的长、宽、高中有一个是1时，分割后只有一层小正方体，其中有两个面涂上红色的小正方体是去掉最外层一圈的小正方体后剩下的那些．因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，设100ab，那么分成的小正方体个数为 a2b21ab2ab42ab104，为了使小正方体的个数尽量少，应使ab最小，而两数之积一定，差越小积越小，所以当ab10时它们的和最小，此时共有 102102144个小正方体． 当长方体的长、宽、高都大于1时，有两个面涂上红色的小正方体是去掉8个顶点所在的小正方体后12条棱上剩余的小正方体，因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，所以长方体的长、宽、高之和是10042331．由于三个数的和一定，差越大积越小，为了使小正方体的个数尽量少，应该令312227，此时共有2227108个小正方体． 因为108144，所以至少要把这个大长方体分割成108个小正方体． 【答案】108 【例 47】 把正方体的六个表面都划分成9个相等的正方形．用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？ 【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 一个面最多有5个方格可染成红色（见左下图）．因为染有5个红色方格的面不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成5个红色方格． 红红红红红红红红红红红 其余四个面中，每个面的四个角上的方格不能再染成红色，至多能染4个红色方格（见上中图）．因为染有4个红色方格的面也不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成4个红色方格．最后剩下两个相对的面，每个面最多可以染2个红色方格（见右上图）．所以，红色方格最多有． 52422222（个）（另解）事实上上述的解法并不严密，“如果最初的假设并没有两个相对的有5个红色方格的面，是否其他的四个面上可以出现更多的红色方格呢？”这种解法回避了这个问题，如果我们从约束染4-5-1.长方体与正方体（一） 题库 page 19 of 29 色方格数的本质原因入手，可严格说明22是红色方格数的最大值． 对于同一个平面上的格网，如果按照国际象棋棋盘的方式染色，那么至少有一半的格子可以染成红色．但是现在需要染色的是一个正方体的表面，因此在分析问题时应该兼顾棱、角等面与面相交的地方： ⑴ ⑵ ⑶ ⑴如图，每个角上三个方向的3个方格必须染成不同的三种颜色，所以8个角上最多只能有8个方格染成红色． ⑵如图，阴影部分是首尾相接由9个方格组成的环，这9个方格中只能有4个方格能染成同一种颜色(如果有5个方格染同一种颜色，必然出现相邻，可以用抽屉原理反证之：先去掉一个白格，剩下的然后两两相邻的分成四个抽屉，必然有一个抽屉中有两个红色方格)，像这样的环，在正方体表面最多能找到不重叠的两道（关于正方体中心对称的两道），涉及的18个方格中最多能有8个可染成红色． ⑶剩下633839212个方格，分布在6条棱上，这12个格子中只能有6个能染成红色． 综上所述，能被染成红色的方格最多能有88622个格子能染成红色，第一种解法中已经给出22个红方格的染色方法，所以22个格子染成红色是最多的情况． 【答案】22 【巩固】把正方体的六个表面都划分成4个相等的正方形．用红色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形不能同时染上红色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？ 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 正方体的6个面被分割成24个正方形，如果只对每个面分别分析，只能得到每个面最多有2个方格，六个面最多应该12个面染成红色，如果对每一个角进行分析，每一个角上的三个方格都相互相邻，所以其中最多只有1个方格能染成红色，所以用红色染的正方形最多有8个，如图． 【答案】8个 【例 48】 一个正方体的棱长为3厘米，在它的前、后、左、右、上、下各面中心各挖去一个棱长为1厘米的正方体做成一种玩具，求这个玩具的表面积. 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 挖去六个小正方体后，大正方体的中心部分即与其主体脱离，这时得到的新玩具是镂空的.把这个玩具分成20部分，8个“角”和12条“梁”，每个“角”为棱长1厘米的小正方体，它外露部分的面积为：1233(平方厘米)，则8个“角”外露部分的面积为：3824(平方厘米)．每条“梁”为棱长1厘米的小正方体，它外露部分的面积为：1244(平方厘米)，则12条“梁”外露部分的面积为：41248(平方厘米)．这个玩具的表面积为：244872(平方厘米)． 【答案】72 【例 49】 如右图，一个边长为3a厘米的正方体，分别在它的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个截口是边长为a厘米的正方形的长方体（都和对面打通）．如果这个镂空的物体的表面积为2592平方厘米，试求正方形截口a的边长． 4-5-1.长方体与正方体（一） 题库 page 20 of 29 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 2【解析】 原来正方体的表面积为：63a3a69a（平方厘米）， 2六个边长为a的小正方形的面积为（减少部分）：6aa6a（平方厘米）； 2 挖成的每个长方体空洞增加的侧面积为：aa428a（平方厘米）； 2222 根据题意可得：54a6a38a2592，解得a36（平方厘米），故a6厘米． 【答案】6 【例 50】 有一个棱长为5cm的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔(右上图)，求这个立体图形的内、外表面的总面积． 【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 将此带孔的正方体看做由八个2228cm3的正方体(8个顶点)和12个1cm3的正方体(12条棱)粘成的．每个正方体有两个面粘接，减少表面积4cm2，所以总的表面积为： (46)8612412216(cm2)． 【答案】216 【例 51】 左下图是一个正方体，四边形APQC表示用平面截正方体的截面．请在右下方的展开图中画出四边形APQC的四条边． DAHEPFQBCDCGBFHEGA 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 把空间图形表面的线条画在平面展开图上，只要抓住四边形APQC四个顶点所在的位置这个关键，再进一步确定四边形的四条边所在的平面就可容易地画出． ⑴考虑到展开图上有六个顶点没有标出，可想象将展开图折成立体形，并在顶点上标出对应的符号，见左下图． CDCGABFBDHDEAACDACGDHDQPEABFBA 4-5-1.长方体与正方体（一） 题库 page 21 of 29 ⑵根据四边形所在立体图形上的位置，确定其顶点所在的点和棱，以及四条边所在的平面： 顶点：AA，CC，P在EF边上，Q在GF边上．边AC在ABCD面上，AP在ABFE面上，QC在BCGF面上，PQ在EFGH面上． ⑶将上面确定的位置标在展开图上，并在对应平面上连线．需要注意的是，立体图上的A，C点在展开图上有三个，B，D点在展开图上有二个，所以在标点连线时必须注意连线所在的平面．连好线的图形如右上图． 【答案】如下图 CDACGDHDQPEABFBA 【例 52】 如图，用455个棱长为1 的小正方体粘成一个大的长方体，若拆下沿棱的小正方体，则余下371个小正方体，问：所堆成的大长方体的棱长各是多少？拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积是多少？ 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设长方体棱长为分别为x、y、z.，他们只能取正整数，则有： xyz455 4(x2y2z2)8455371因为4555713方程组的无序正整数解只有(5，7，13)，拆下沿棱的的小正方体后的多面体如图所示，首先计算突出在外面的6个平面，面积是2(11511335)206再计算24个宽都是1的长条，面积是8(1135)152，总面积为358. 【答案】358 【例 53】 大正方体的棱长是小正方体棱长的4倍，那么它的表面积是小正方体表面积的______倍． 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，六年级，初赛 64a2:6a216:1． 【解析】 【答案】16:1 【例 54】 一个大正方体、四个中正方体、四个小正方体拼成如图的立体图形，已知大、中、小三个正方体的棱长分别为5厘米、2厘米、1厘米．那么，这个立体图形的表面积是________平方厘米． 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，6年级，初赛，第8题 【解析】 采用“压缩”的方法，把上面都压到大正方体的上面，总表面积大正方形的表面积中正方体的侧4-5-1.长方体与正方体（一） 题库 page 22 of 29 面积小正方体的侧面积55622441144230平方厘米。评注：表面积不计算两个物体的重叠面积，如何去掉重叠的面积，经常转化为标准物体的表面积。 【答案】230 【例 55】 如图所示，有大小不同的两个正方体，大正方体的棱长是小正方体棱长的6倍．将大正方体的6个面都染上红色，将小正方体的6个面都染上黄色，再将两个正方体粘合在一起．那么这个立体图形表面上红色面积是黄色面积的 倍． 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级，复赛3题 【解析】 假设小正方体棱长是1，大正方体棱长就是6，大正方体露在外面的表面积是6661215，小正方体露在外面的表面积是5，所以有215543倍． 【答案】43 【例 56】 两个棱长分别为1cm和3cm的立方体如图放置，如果在这个立体图形上切一刀，要求切面与已有立3方体的表面平行，那么得到的两个立体图形的表面积之和最大是_____cm. 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，6年级，初赛，4题 2222【解析】 3×6+1×4+1×2+3×2=78 【答案】78 【例 57】 如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米的三个正方体紧贴在一起，则所得到的立体图形的表面积是 平方厘米。 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，6年级，第3题 【解析】 把顶面往下补，把最下面的这个正方体补全了，上面两个正方体各剩4个侧面， 表面积一共是： 336224114=54+16+4=74 【答案】74 【例 58】 如图，有一个棱长为10厘米的正方体铁块，现已在每两个对面的中央钻一个边长为4厘米的正方形孔（边平行于正方体的棱），且穿透．另有一长方体容器，从内部量，长,宽,高分别为15厘米,12厘米,9厘米，内部有水，水深3厘米．若将正方体铁块平放入长方体容器，铁块在水下部分的体4-5-1.长方体与正方体（一） 题库 page 23 of 29 积为 立方厘米． 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，六年级，初赛，第11题 【解析】 可以把正方体铁块看作三层：最下面一层为中央穿孔的长方体，高为3厘米；中间一层为4个长方体立柱，高为4厘米；最上面一层也是高为3厘米的中央穿孔的长方体.由于长方体容器内原有水深3厘米，所以正方体铁块放入水中后，铁块最下面一层肯定全部在水中，而水也不可能上升到最上面一层，即恰在中间一层.设水面上升了h厘米，则中间一层在水中的部分恰好为h厘米.由于水面上升是由于铁块放入水中导致，水面上升的体积即等于铁块在水下部分的体积，即 71512h(10242)3324h，解得h， 47故铁块在水下部分的体积为1512315(立方厘米). 4【答案】315 【例 59】 将一个立体纸盒沿着棱切开，使它展开成下图所示的图形，一共要剪开 条棱。 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，六年级，第11题 【解析】 容易看出这个展开图可以拼成一个封闭的立体图形，展开图外围一共有12条边；这个封闭的立体图像要展开成图中的展开图，每剪开一条棱，就会产生外围的2条边；所以需要剪开1226条棱 【答案】6 【例 60】 右图是个有底无盖的容器的平面展开图，其中①是边长为18厘米的正方形，②③④⑤是同样大的等腰直角三角形，⑥⑦⑧⑨是同样大的等边三角形．那么，这个容器的容积是＿＿＿毫升． ⑥②①⑨⑤④⑧③⑦ 【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，六年级，初赛 【解析】 该容器是一个棱长为18的立方体割去八个角后(从每条棱的中点)剩下部分的一半． 4-5-1.长方体与正方体（一） 题库 page 24 of 29 111即：1839382430(毫升)． 232【答案】2430 【例 61】 右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，⑸⑹也是等边三角形且边长为⑴的2倍，⑺⑻⑼⑽是同样的等腰直角三角形，⑾是正方形．那么，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的 倍． ⑸⑺⑾⑻⑹⑵⑴⑷⑶⑼⑽ 【考点】长方体与正方体 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级组，决赛，14题 【解析】 本题中的两个图都是立体图形的平面展开图，将它们还原成立体图形，可得到如下两图： 其中左图是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形，是一个四个面都是正三角形的正四面体，右图以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形，是一个不规则图形，底面是⑾，四个侧面是⑺⑻⑼⑽，两个斜面是⑸⑹． 对于这两个立体图形的体积，可以采用套模法来求，也就是对于这种我们不熟悉的立体图形，用一些我们熟悉的基本立体图形来套，看看它们与基本立体图形相比，缺少了哪些部分． 由于左图四个面都是正三角形，右图底面是正方形，侧面是等腰直角三角形，想到都用正方体来套． 对于左图来说，相当于由一个正方体切去4个角后得到(如下左图，切去ABDA1、CBDC1、D1AC11D、B1AC11B)；而对于右图来说，相当于由一个正方体切去2个角后得到(如下右图，切去BACB1、DACD1)． 4-5-1.长方体与正方体（一） 题库 page 25 of 29 BCABACDDB1C1D1B1C1A1A1D1 假设左图中的立方体的棱长为a，右图中的立方体的棱长为b，则以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图111形的体积为：a3a2a4a3， 233112以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积为b3b2b2b3． 233由于右图中的立方体的棱长即是题中正方形⑾的边长，而左图中的立方体的每一个面的对角线恰好是正三角形⑴的边长，通过将等腰直角三角形⑺分成4个相同的小等腰直角三角形可以得到右图中的立方体的棱长是左图中的立方体的棱长的2倍，即b2a． 那么以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形的体积与以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体12123积的比为：a3:b3a3:2a1:16，也就是说以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形3333的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的16倍． 【答案】16 22【例 62】 一个表面积为56 cm的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体表面积的和是______cm． 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】走美杯，六年级，初赛，第2题 【解析】 每一刀增加两个切面，增加的表面积等于与切面平行的两个表面积, 2所以每个方向切两刀后，表面积增加到原来的3倍，即表面积的和为168cm. 【答案】168 【例 63】 把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个棱长为1的小正方体，其中恰有两个面涂上红色的小正方体恰好是2005块。大长方体体积的最小值是 。 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】走美杯，6年级，决赛，第9题，10分 【解析】 设大长方体的长、宽、高分别为x，y，z(x≥y≥z≥1)。 当y=1或2，z=1时，没有两个面涂上红色的小正方体； 当y>2，z=1时，两个面涂上红色的小正方体有(x－2)(y－2)个， 得到(x－2)(y－2)=2005=2005×1=401×5. 大长方体的体积xyz=xy，为(2005+2)×(1+2)=6021或(401+2)×(5+2)=2821. 4-5-1.长方体与正方体（一） 题库 page 26 of 29 当z≥2时，两个面涂上红色的小正方体有 [(x－2)+(y－2)+(z－2)]×4(个)， 上式的结果是偶数，此时两个面涂上红色的小正方体的个数不可能是2005. 所以，大长方体体积的最小值是2821. 【答案】2821 【例 64】 用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，从上向下看这个立体，如下图a，从正面看这个立体，如下图b，则这个立体的表面积最多是________. 图a（从上向下看）图b（从正面看）【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，六年级，决赛，第8题 【解析】 根据所给视图，可画出这个立体的直观图如下： 可知，上下面积为8×2＝16（平方厘米），前后面积为8×2＝16（平方厘米）， 左右面积为8×2＝16（平方厘米），此立体的表面积共48平方厘米. 【答案】48 【例 65】 图是一个正方体木块。M是AB的中点，N是AD的中点。用一把锋利的锯，过M、N、G三个点将木块锯成两块，使截面是平的，这个截面是______ 边形。 AMBEGCHNDF 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4年级，初赛，23题 【解析】 应该是过M、N、G三点，那样的话截面是一个五边形，还会过BF、DH中点。 【答案】五边形 【例 66】 用九个如图甲所示的小长方体拼成一个如图乙所示的大长方体，已知小长方体的体积是750立方厘米，则大长方体的表面积是 平方厘米。 甲 乙 4-5-1.长方体与正方体（一） 题库 page 27 of 29 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，初赛，第19题，6分 【解析】 由图中可知，假设小长方体最长的棱为长，次长的棱为宽，最短的棱为高，那么假设小长方体的高为a，那么小长方体的长就是3a，那么宽就是3a232a，那么小长方体的体积就应该是a2a3a6a3，说明a的三次方是125，那么a=5，小长方体的长宽高分别是15、10、5，那么根据图形列出算式：30153015151522250平方厘米。 【答案】2250 【例 67】 小华用相同的若干个小正方体摆成一个立体（如图2）。从上体上面看这个立方体，看到的图形是图①～③中的 。（填序号） ①②③ 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯， 5年级，初赛，第9题，6分 【解析】 ③ 【答案】③ 【例 68】 由27个棱长为1的小正方体组成一个棱长为3的大正方体，若自上而下去掉中间的3个小正方体，如图所示，则剩下的几何体的表面积是 。 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，初赛，第15题，5分 【解析】 64，没去掉3个小正方体之前的表面积为3×3×6=54，去掉之后增加了3×1×4-1×1×2=10，所以剩下的表面积为54+10=64。 【答案】64 【例 69】 一个长方体，如果长减少2厘米，宽和高不变，则体积减小48平方厘米；如果宽增加3厘米，长和高不变，则体积增加99平方厘米；如果高增加4厘米，长和宽不变，则体积增加352平方厘米，那么，原长方体的表面积是（ ）平方厘米。 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第10题 【解析】 设长宽高分别为a,b,c，长减少2，则体积减少部分2bc48bc24， 宽增加3，则体积增加部分3ac99ac33， 高增加4，则体积增加部分4ab352ab88， 因此表面积为：(abbcac)2(243388)2290 【答案】290 【例 70】 将16个相同的小正方体拼成一个体积为16立方厘米的长方体，表面涂上漆，然后分开，则3个面涂漆的小正方体最多有_________个，最少有________个。 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 4-5-1.长方体与正方体（一） 题库 page 28 of 29 【关键词】希望杯，六年级，复赛，第9题，5分 4【解析】 16=2，有下列组合：16×1×1，8×2×1，4×4×1，4×2×2。对于16×1×1的情况，两端的小正方体各有5个面涂漆，它们之间夹着的14个小正方体各有4个面涂漆，没有3个面涂漆的。对于8×2×1的情况，四个角上的小正方体各有4个面涂漆，它们之间夹着的12个小正方体各有3个面涂漆。对于4×4×1的情况，四个角上的小正方体各有4个面涂漆，边上的8个小正方体各有3个面涂漆，中间的4个小正方体各有2个面涂漆。对于4×2×2的情况，八个角上的小正方体各有3个面涂漆，它们之间夹着的8个小正方体各有2个面涂漆。所以，最多有12个，最少有0个。 【答案】最多有12个，最少有0个 【例 71】 数一数下图中有多少个正方体木块？ 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 从下到上各层分别有3个、3个、1个，因此共有3+3+1=7个方块． 【答案】7 【例 72】 有一个3×4×5的长方体，先把其中相邻的两个面染红，再把它切成60个1×1×1的小正方体，请问：这些小正方体中最多有多少个是恰有一个面被染红的？ 【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 25． 【答案】25 4-5-1.长方体与正方体（一） 题库 page 29 of 29 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/0ff72a67f4ec4afe04a1b0717fd5360cba1a8d0e.html