实 验 报 告 实验名称：饿狼追兔问题 时间：2011.11.6 一、实验目的和要求： 理解二阶微分法在建模过程中的应用，熟悉利用MATLAB软件求解微分方程的方法。注意模型的普遍性和模型的广泛性。 二、实验内容： 现有一只兔子、一匹狼，兔子位于狼的正西100米处，假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子。已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。问兔子能否安全回到巢穴？ 三、实验步骤： 1）变量说明 v1：兔子的速度（单位：码/秒）r：狼与兔子速度的倍数；v2：狼的速度（单位：码/秒），显然有v2rv1 t：狼追击兔子的时刻（t=0时，表示狼开始追兔子的时刻）s1：在时刻t，兔子跑过的路程（单位：码），s1s1(t) s2：在时刻t，狼跑过的路程（单位：码），s2s2(t) Q(x1,y1)：表示在时刻t时，兔子的坐标 P(x,y)：表示在时刻t时，狼子的坐标 2） 模型假设 1、狼在追击过程中始终朝向兔子； 2、狼追击兔子的轨迹看作是一条光滑的曲线，即将动点P(x,y)的轨迹看作一条曲线，曲线方程表示为yy(x)。 3）模型建立 （一）建模准备 以t＝0时，兔子的位置作为直角坐标原点，兔子朝向狼的方向为x轴正向；则显然有兔子位置的横坐标x10。对狼来说，当x＝100，y＝0，即yx1000在t＝0刚开始追击时，狼的奔跑方向朝向兔子，此时即x轴负方向，则有 yx1000 （二）建立模型 由于狼始终朝向兔子，则在狼所在位置P(x,y)点过狼的轨迹处的切线方向在y轴上的截距为y1。 设切线上的动点坐标为（X，Y），则切线方程为 Yyy(Xx) ………… （1） 在（1）中，令X＝0，则截距Yyyx。此时y1v1t。则此时截距等于兔子所跑过的路程，即：Yy1，从而可得 Yy1yyx …………. （2） 在t时刻，兔子跑过的路程为 s1y1v1t …………… （3） 由于狼的速度是兔子的r倍，则狼跑的路程为 s2rs1ry1 …………… （4） 狼跑过的路程可以用对弧长的曲线积分知识得到，如下。 s1002x1y2dx ……………. （5） 联立（2）、（4）、（5）得 100x1y2dxry1r(yyx) ………… （6） 对（6）两边求对x的导数，化简得 y1y2rx …………………. （7） 微分方程（7）式的初始条件有： yx1000 yx1000 要判定狼是否追上兔子，可以通过（7）式判定。 对（7）式， 当x＝0，如果计算求解得到y60，则视为没有追上； 当x＝0，如果计算求解得到y60，则视为兔子被追上； 4） 模型求解 由微分方程得到其Matlab函数 function yy=odefunlt(x,y) %以狼在追击过程中的横坐标为自变量 yy(1,1)=y(2); yy(2,1)=sqrt(1+y(2).^2)./(2.*x); 主程序： tspan=100:-0.1:0.1; %以狼的x坐标为自变量 y0=[0 0];%下面只知道狼是否追上兔子，但是不易推得兔子刚刚到达窝边时，狼与兔之间的距离 [T,Y] = ode45('odefunlt',tspan,y0); n=size(Y,1); disp('狼的坐标(x=0.1)') disp(Y(n,1)) %通过追击曲线计算当狼的横坐标为0.1(即tspan=0.1)时，狼的纵坐标 5）模型结果与分析 运行结果： 狼的坐标(x=0.1) 62.1932 通过上面运行结果可知，狼并没有追上兔子。 6）模型改进 可以对狼与兔子的追击过程通过计算机进行模拟，然后从模拟结果获取。 模拟程序如下： function sim_langtu Q=[0 0];%兔子坐标 P=[100 0];%狼坐标 PQ=Q-P;%狼兔方向向量 step =1;%模拟步长：兔子奔跑的距离，step越小就越精确 count = 60/step;%以兔子的奔跑距离划分 PQ=PQ/norm(PQ)*step;%归一化，单位向量 trackP=P; trackQ=Q; for k=1:count; P = P + 2*PQ;%2倍速度 Q = Q + step*[0 1];%[0 1]为兔子奔跑方向的单位方向向量 PQ = Q - P; trackP(1+k,:)=P; trackQ(1+k,:)=Q; PQ=PQ/norm(PQ)*step;%归一化，单位向量 dis= sqrt(sum((P-Q).^2)); plot(trackP(:,1),trackP(:,2),'*',Q(1),Q(2),'rp',0,60,'r+'); pause(0.5) end%for dis%兔子到达窝边时，狼兔之间的距离 P %兔子到达窝边时，狼的坐标 Q %兔子到达窝边时，兔子的坐标 模拟程序运行结果 dis = 7.0619 P = 1.6805 53.1410 Q = 0 60 程序结束后，输出狼兔的位置图如下。通过下图可以直观的看到，当兔子回到窝边时，狼还与兔子有一段距离，这表示兔子成功逃脱。 60504030201000102030405060708090100 了解了二次微分法的求解过程； 结 学会了一些函数应用； 对追击问题有了进一步的了解。 论 2012年 11月6日 教 师 批 阅 年 月 日 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/0e2821711711cc7931b71643.html