初中奥数同余问题-初中奥数代数式同余式习题

先看一个游戏：有n+1个空格排成一行，第一格中放入一枚棋子，甲乙两人交替移动棋子，每步可前移1，2或3格，以先到最后一格者为胜.问是先走者胜还是后走者胜?应该怎样走才能取胜?
取胜之道是：你只要设法使余下的空格数是4的倍数，以后你的对手若走i格(i=1，2，3)，你走4-i格，即每一次交替，共走了4格.最后只剩4个空格时，你的对手就必输无疑了.因此，若n除以4的余数是1，2或3时，那么先走者甲胜;若n除以4的余数是0的话，那么后走者乙胜.
在这个游戏里，我们可以看出，有时我们不必去关心一个数是多少，而要关心这个数用m除后的余数是什么.又例如，1999年元旦是星期五，1999年有365天，365=7×52+1，所以2000年的元旦是星期六.这里我们关心的也是余数.这一讲中，我们将介绍同余的概念、性质及一些简单的应用.
同余，顾名思义，就是余数相同.
定义1 给定一个正整数m，如果用m去除a，b所得的余数相同，则称a与b对模m同余，记作
a≡b(modm)，
并读作a同余b，模m.
若a与b对模m同余，由定义1，有
a=mq1+r，b=mq2+r.
所以 a-b=m(q1-q2)，
即 m|a-b.
反之，若m|a-b，设
a=mq1+r1，b=mq2+r2，0≤r1，r2≤m-1，
则有m|r1-r2.因|r1-r2|≤m-1，故r1-r2=0，即r1=r2.
于是，我们得到同余的另一个等价定义：
定义2 若a与b是两个整数，并且它们的差a-b能被一正整数m整除，那么，就称a与b对模m同余.
同余式的写法，使我们联想起等式.其实同余式和代数等式有一些相同的性质，最简单的就是下面的定理1.
定理1 (1)a≡a(modm).
(2) 若a≡b(modm)，则b≡a(modm).
(3) 若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则a≡c(modm).
在代数中，等式可以相加、相减和相乘，同样的规则对同余式也成立.
定理2 若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则
a±c≡b±d(modm)，ac≡bd(modm).

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